تكامل فرينل

رسومات بيانية لـ S(x) و C(x) . تبلغ القيمة العظمى لـ C(x) حوالي 0.977451424 .

تكامُلَا S(x) و C(x) لفرينل هما دالتان متساميتان تم تسميتهما على اسم العالم الفرنسي أوغستان-جان فرينل واللتان تُستخدَم في البصريات وترتبط ارتباطًا وثيقًا بدالة الخطأ (erf). ظهرت هتان الدالتان في وصف ظواهر حيود فرينل في المجال القريب وتُعَرَّف من خلال التمثيلات التكاملية التالية:$$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin (t^2)dt,C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)dt.$$الرسوم البيانية الوسيطية المتزامنة لـ S(x) و C(x) هي عبارة عن حلزون أويلر.

تعريف

تكاملا فرينل بمداخل π/2t² بدلا من t² تتقارب نحو 1/2 بدلاً من 1/2·√π/2 .

تقبل تكاملا فرينل متسلسلتي القوة التاليتان اللتان تتقاربان من أجل كل x :$$\begin{array}{rr}S(x)& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin (t^2)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)},\\ C(x)& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}.\end{array}$$بعض الجداول المستخدمة على نطاق واسع تستخدم π/2t² بدلاً من t² لمدخل التكاملين اللتين تُعَرِّفان S(x) و C(x). هذه تغير نهايتهما عند اللانهاية من 1/2·√π/2 إلى 1/2 وطول القوس لأول دورة الخط الحلزوني من √2π إلى 2 (عند t = 2). تُعرف هتان الدالّتان البديلتان عادةً باسم تكاملَيْ فرينل المعياريتين.