معادلة هاميلتون

معادلة هاميلتون في الفيزياء (بالإنجليزية:Hamilton function ) $\mathcal{H}(t,q,p)$ هي معادلة تصف حركة نظام مكون من جسيمات وتعطي طاقته كدالة لموضع الجسيمات و وزخم حركتها . وهي معادلة تعتمد على الزمن $t$ و إحداثيات الوضع $q=(q_1,q_2\dots q_n)$ و زخم الحركة لكل الجسيمات $p=(p_1,p_2\dots p_n)$ .

عند دراسة حركة جسيم كتلته $m$ يتحرك بسرعة أقل بكثير من سرعة الضوء ويوجد في بئر جهدي V (مثال تقريبي : إلكترون يتحرك في جهد نواة الذرة) ، فيمكن حساب طاقة الحركة و طاقة الوضع للجسيم (الإلكترون) بالمعادلة:

$\mathcal{H}(t,\mathbf{q},\mathbf{p})=\frac{{\mathbf{p}}^2}{2m}+V(\mathbf{q})$

أما إذا أردنا وصف جسيم حر طليق يتحرك بسرعة مقاربة من سرعة الضوء نحصل على العلاقة بين الطاقة E وزخم الحركة p للجسيم الحر كالآتي:

$E^2-{\mathbf{p}}^2{c}^2=m^2{c}^4$

حيث c سرعة الضوء ,

وتكون معادلة هاميلتون للجسيم الحر (مع أخذ تأثيرات النظرية النسبية الخاصة لأينشتاين في الحسبان) :

$\mathcal{H}(t,\mathbf{q},\mathbf{p})=\sqrt{m^2{c}^4+{\mathbf{p}}^2{c}^2}.$

في ذلك المثالين (جسيم يتحرك في بئر جهدي لنواة أو جسيم حر) لا تعتمد دالة هاميلتون على الزمن ، وعلى ذلك يحتفظ الجسيم بطاقته الابتدائية ، فتكون طاقة الجسيم كمية محفوطة.

دالة هاميلتون و دالة لاغرانج

تمكن تحويل دالة هاميلتون عن طريق تحويل ليجاندر فنحصل على دالة لاغرانج $\mathcal{L}(t,q,\dot{q})$ التي تعتمد على الإحداثيات المعممة للوضع والسرعات , $\dot{q}=({\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2\dots {\dot{q}}_n)$ :

$\mathcal{H}(t,q,p)=\sum _{k=1}^n{\dot{q}}_k{p}_k-\mathcal{L}(t,q,\dot{q})$

نجد على اليمين السرعات $\dot{q}$ التي تؤول إلى الدوال $\dot{q}(t,q,p)$ عند تعريف زخوم الحركة حيث زخم الحركة p :

$p_k=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{q}}_k}$

واستنباطها من السرعات.

وعلى سبيل المثال يعتمد زخم الحركة لجسيم يتحرك بسرعة مقاربة من سرعة الضوء طبقا لدالة لاغرانج :

$\mathcal{L}=-m{c}^2\sqrt{1-{\dot{\mathbf{q}}}^2/c^2}$

$\mathbf{p}=\frac{m\dot{\mathbf{q}}}{\sqrt{1-{\dot{\mathbf{q}}}^2/c^2}}$

أي يعتمد زخم الحركة على السرعات .

وبالعكس نجد ان السرعة دالة لزخم الحركة :

$\dot{\mathbf{q}}=\frac{\mathbf{p}{c}^2}{\sqrt{m^2{c}^4+{\mathbf{p}}^2{c}^2}}$

وتحدد دالة هاميلتون تغير مكان الجسيمات و زخمها الحركي مع الزمن من خلال معادلة هاميلتون للحركة .

${\dot{q}}_k=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k},{\dot{p}}_k=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k}.$

كذلك يعين معامل هاميلتون التغير مع الزمن في ميكانيكا الكم . ويمكن الحصول عليه في مسائل كثيرة من دالة هاميلتون مع أخذ الكمومية في الاعتبار ، وصياغة الدالة $\mathcal{H}(t,q,p)$ كدالة للمعاملين $q$ و $p$ .

انظر أيضا

• ميكانيك لاغرانج
• تحويل ليجاندر
• ستة درجات حرية
• جسيم في صندوق
• جهد يوكاوا