تحليل كسري جزئي

في الرياضيات، التفكيك الكسري الجزئي (بالإنجليزية: partial fraction decomposition)‏ أو الكسور الجزئية هي طريقة تسمح بإعادة كتابة دالة كسرية على الشكل:

$\frac{f(x)}{g(x)}$

إلى شكل

$\sum \frac{a_n}{h_n(x)}$

حيث $f(x)$ و $g(x)$ متعددتا حدود و$a_n$ معاملات يتم تحديدها. وتختلف طريقة الحل بناء على درجة دالتي البسط والمقام.

درجة البسط أقل من درجة المقام

مثال لهذه الحالة:
$\frac{2}{(3x+1)(x^2+2)}$

نقوم بتحليل المقام إلى دوال بسيطة، ونفرض دوال للبسط بحيث يكون درجة دالة البسط أقل من درجة المقام ويكون الحل هكذا:

$\frac{2}{(3x+1)(x^2+2)}=\frac{A}{(3x+1)}+\frac{Bx+C}{(x^2+2)}$

ثم نقوم بتوحيد المقام، وبما أن المقامين متساويان فإن البسطين يكونان متساويان:

$2=A(x^2+2)+(Bx+C)(3x+1)$

ونضع قيم مختلفة للمتغير x ونحل المعادلة ونستخرج قيم A,B,C.

درجة البسط أكبر من درجة المقام أو تساويها

ومثال لهذه الحالة:

$\frac{2x^2-9x-44}{2x^2-7x-15}$

نقوم باستخدام القسمة المطولة

$I=1+\frac{-2x-29}{2x^2-7x-15}$

وهكذا تكون في النهاية

$I=1+\frac{-2x-29}{2x^2-7x-15}=1+\frac{Ax+C}{2x^2-7x-15}$

ثم نساوي $-2x-29=Ax+C$

ونضع قيما مختلفة للمتغير x و نحسب قيم A,C .

تطبيق الكسور الجزئية في التكامل

لتطبيق الكسور الجزئية في حساب التكامل الرمزي، من خلال:

$Q(x)=(x-{\alpha }_1)(x-{\alpha }_2)\cdots (x-{\alpha }_n)$ ,$P(x)$

$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{c_1}{x-{\alpha }_1}+\frac{c_2}{x-{\alpha }_2}+\cdots +\frac{c_n}{x-{\alpha }_n}$

مثال على ذلك:

$\int \frac{x^4+x^3+x^2+1}{x^2+x-2}dx$

$\int x^2+3+\frac{-3x+7}{(x+2)(x-1)}dx$

$\int x^2+3+\frac{-3x+7}{(x+2)(x-1)}dx=\int x^2+3+\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x-1)}dx$

$A(x-1)+B(x+2)=-3x+7$.

$A=\frac{-13}{3},B=\frac{4}{3}$

$\int x^2+3+\frac{-13/3}{(x+2)}+\frac{4/3}{(x-1)}dx=\frac{x^3}{3}+3x-\frac{13}{3}\ln (|x+2|)+\frac{4}{3}\ln (|x-1|)+C$