جبر حالي

جبر حالي (بالإنجليزية: Current algebra)‏ هي أحد الأطر الرياضية الموجودة في نظرية الحقل الكمي، حيث أن الحقول الآتية من جبر لي تكون معتمدة العلاقات المتبادلة بينهما.

مثال

في تناظر يانغ–ميلز اللا-أبيلية، الرمزان V وA هما كثافة flavor-current وaxial-current على الترتيب، نموذج الجبر الحالي هو

$[V^a(\overrightarrow{x}),V^b(\overrightarrow{y})]=i{f}_c^{ab}\delta (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})V^c(\overrightarrow{x}),$ و

$[V^a(\overrightarrow{x}),A^b(\overrightarrow{y})]=i{f}_c^{ab}\delta (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})A^c(\overrightarrow{x}),[A^a(\overrightarrow{x}),A^b(\overrightarrow{y})]=i{f}_c^{ab}\delta (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})V^c(\overrightarrow{x}),$

حيث f هي ثوابت جبر لي. للحصول على تعبيرات ذات معنى، يجب أن تكون مرتبة طبيعية.

الجبر يُحل لمجموع مباشر من اثنين من الجبر هما، L و R, وفق التعريف

$2L^a(\overrightarrow{x})\equiv V^a(\overrightarrow{x})-A^a(\overrightarrow{x}),2R^a(\overrightarrow{x})\equiv V^a(\overrightarrow{x})+A^a(\overrightarrow{x}),$

حيث $[L^a(\overrightarrow{x}),L^b(\overrightarrow{y})]=i{f}_c^{ab}\delta (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})L^c(\overrightarrow{x}),[L^a(\overrightarrow{x}),R^b(\overrightarrow{y})]=0,[R^a(\overrightarrow{x}),R^b(\overrightarrow{y})]=i{f}_c^{ab}\delta (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})R^c(\overrightarrow{x}).$

المصادر

• Sam B. Treiman; Roman Jackiw; دايفيد غروس، Lectures on current algebra and its applications. Princeton Series in Physics. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1972. x+362 pp.