هذه المقالة يتيمة. ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالة متعلقة بها
يفتقر محتوى هذه المقالة إلى مصادر موثوقة.

طريقة ديكارت

من أرابيكا، الموسوعة الحرة

هذه هي النسخة الحالية من هذه الصفحة، وقام بتعديلها عبود السكاف (نقاش | مساهمات) في 22:49، 2 أكتوبر 2023 (بوت:صيانة V5.9.3، حذف وسم وصلات قليلة). العنوان الحالي (URL) هو وصلة دائمة لهذه النسخة.

(فرق) → نسخة أقدم | نسخة حالية (فرق) | نسخة أحدث ← (فرق)
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في الرياضيات، طريقة ديكارت هي طريقة جبرية لحل المعادلات التربيعية و الرباعية.

لهذه الغاية، استعمل ديكارت تعميل الحدوديات من الدرجة n إلى جداء حدوديات من الدرجة الأولى a(xx1)(xx2)(xxn).

معادلة من الدرجة الثانية

لحل المعادلة

ax2+bx+c=0 ,

نبدأ من العلاقتين التاليبين بين المعاملات والجذور:

x1+x2=ba ;
x1x2=ca .

من العلاقة الأولى نصل لـ

x1=b2a+petx2=b2ap ,

حيث p هي قيمة تحددها العلاقة الثانية.

هذه الطريقة شائعة جدًا، لو لدينا عدد C عبارة عن مجموع عددين A وB، يمكننا دائمًا كتابة A كنصف مجموع C وقيمة معينة p، وبذا تصبح قيمة B بالضرورة نصف قيمة C ناقص p.

لنصل لـ

(b2a+p)(b2ap)=ca ,

ونستنتج ±p ثم الجذرين.

المعادلة من الدرجة الرابعة

ضمن ديكارت كتابه الهندسة (1637) طريقة لحل المعادلات من الدرجة الرابعة بمجهول واحد وتتلخص فيما يلي:

نعتبر المعادلة من الدرجة الرابعة في شكلها العام: ax4+bx3+cx2+dx+e=0

نضع

x=zb4a

فنجد:

z4+pz2+qz+r=0

يمكن تعميل رباعية الحدود اعلاه الى جداء حدوديتين من الدرجة الثانية حسب المبرهنة الاساسيةفي الجبر حيث معاملا حدي الدرجة الاولى للحدوديتين متقابلين لكون رباعية الحدود خالية من حد الدرجة الثالثة

z4+pz2+qz+r=(z2+az+b)(z2az+c)

ننشر فنجد:

z4+pz2+qz+r=z4+(b+ca2)z2a(bc)z+bc

حسب خاصية تساوي حدوديتين نستنتج أن:

{b+ca2=pa(bc)=qbc=r

أي

{b+c=a2+pbc=qabc=r

بجمع المعادلتين الاوليين طرفا بطرف وطرحهما نحصل على{b=12(a2+pqa)c=12(a2+p+qa)bc=r.

بتعويض b و c في المعادلة الثالثة نجد

{b=12(a2+pqa)c=12(a2+p+qa)(a2+pqa)(a2+p+qa)=r

نستنتج أن

(a2+p)2q2a2=4r.

أي

a6+2pa4+(p24r)a2q2=0.

نضع y=a² فنحصل على

y3+2py2+(p24r)yq2=0.

a=y1.

{b=12(y1+pqy1)c=12(y1+p+qy1)a=y1.

إذن z4+pz2+qz+r=0 تكافئ (z2+zy1+12(y1+pqy1))(z2zy1+12(y1+p+qy1))=0.

  • z2+zy1+12(y1+pqy1)=0
  • z2zy1+12(y1+p+qy1)=0

z1=12(y1+y12p+2qy1)

z2=12(y1y12p+2qy1)

z3=12(y1+y12p2qy1)

z4=12(y1y12p2qy1).

مراجع

https://fr.wikiversity.org/wiki/%C3%89quation_du_quatri%C3%A8me_degr%C3%A9/M%C3%A9thode_de_Descartes