مبرهنة ستوكس

في حساب المتجهات وعلم الهندسة التفاضلية، تعرف مبرهنة ستوكس أو مبرهنة ستوكس المعممة (بالإنجليزية: Stokes' theorem أو Generalized Stokes theorem)‏ بأنها ^[1] هي بيان حول تكامل الصور التفاضلية على المشعبات، والذي يبسط ويعمم العديد من المبرهنات من حساب المتجهات. تقول مبرهنة ستوكس أن تكامل الصورة التفاضلية ω على حدود بعض المشعب الموجه يساوي تكامل مشتقها الخارجي dω على كامل i، أي

\int_{\partial Ω} ω = \int_{Ω} d ω .

تمت صياغة مبرهنة ستوكس في شكلها الحديث من قبل إيلي كارتن في عام 1945، بعد العمل السابق على تعميم مبرهنات حساب المتجهات من قبل فيتو فولتيرا، وإدوارد غورسا، وهنري بوانكاريه.

هذا الشكل الحديث لمبرهنة ستوكس هو تعميم واسع للنتيجة الكلاسيكية التي أبلغها لورد كلفن إلى جورج ستوكس في رسالة بتاريخ 2 يوليو 2 يوليو 1850.^[2]^[3]^[4] وضع ستوكس المبرهنة كسؤال في امتحان جائزة سميث ^[English] 1854، مما أدى إلى النتيجة التي تحمل اسمه. تم نشره لأول مرة من قبل هيرمان هانكل في 1861.^[4]^[5] ترتبط مبرهنة كلفن-ستوكس الكلاسيكية هذه بالتكامل السطحي لدوران حقل متجهي $F$ على سطح (أي، تدفق دوران $F$ ) في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد إلى تكامل خطي للحقل المتجهي على حدوده (المعروف أيضًا باسم «التكامل العروي»)

التفسير الرياضياتي:

ليكن $γ : [a, b] \to R 2$ منحنى مستوي جورداني ناعم متعدد التعريف. تستلزم مبرهنة منحنى جوردان بأن $γ$ يقسم $R 2$ إلى مركبتين، أحدهما متراص والآخر غير متراص. ليكن يشير إلى الجزء المتراص المحدود من قبل $γ$ ونفترض أن $ψ : D \to R 3$ ناعم، مع $S := ψ (D)$ . إذا كانت $Γ$ المنحنى الفضائي المعرف بـ $Γ(t) = ψ (γ (t))$ ^{[ملاحظة 1]} و $F$ حقل متجهي ناعم على $R 3$ ، إذن:^[6]^[7]^[8]

\oint_{Γ} F \cdot d Γ = \iint_{S} \nabla \times F \cdot d S

حيث يشير $\nabla \times$ إلى المؤثر التفاضلي «دوران».

هذا البيان الكلاسيكي، إلى جانب مبرهنة التباعد الكلاسيكية، والمبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل، ومبرهنة غرين هي ببساطة حالات خاصة من الصيغة العامة المذكورة أعلاه.

هوامش

^ γ و Γ كلاهما عُرْوات (loops)، ومع ذلك، Γ ليس بالضرورة منحنى جوردان

المصادر

^ Physics of Collisional Plasmas – Introduction to | Michel Moisan | Springer (بEnglish). Archived from the original on 2019-04-03.
^
See:
- Katz، Victor J. (مايو 1979). "The history of Stokes' theorem". Mathematics Magazine. ج. 52 ع. 3: 146–156. DOI:10.1080/0025570x.1979.11976770.
- The letter from Thomson to Stokes appears in: Thomson، William؛ Stokes، George Gabriel (1990). Wilson، David B. (المحرر). The Correspondence between Sir George Gabriel Stokes and Sir William Thomson, Baron Kelvin of Largs, Volume 1: 1846–1869. Cambridge, England: Cambridge University Press. ص. 96–97. ISBN:9780521328319. مؤرشف من الأصل في 2020-09-01.
- Neither Thomson nor Stokes published a proof of the theorem. The first published proof appeared in 1861 in: Hankel، Hermann (1861). Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten [On the general theory of the movement of fluids]. Göttingen, Germany: Dieterische University Buchdruckerei. ص. 34–37. مؤرشف من الأصل في 2020-07-27. Hankel doesn't mention the author of the theorem.
- In a footnote, Larmor mentions earlier researchers who had integrated, over a surface, the curl of a vector field. See: Stokes، George Gabriel (1905). Larmor، Joseph؛ Strutt، John William, Baron Rayleigh (المحررون). Mathematical and Physical Papers by the late Sir George Gabriel Stokes. Cambridge, England: University of Cambridge Press. ج. 5. ص. 320–321. مؤرشف من الأصل في 2016-05-07.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: أسماء متعددة: قائمة المحررين (link)
^ Darrigol، Olivier (2000). Electrodynamics from Ampère to Einstein. Oxford, England. ص. 146. ISBN:0198505930.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: مكان بدون ناشر (link)
^ ^أ ^ب Spivak (1965), p. vii, Preface.
^
See:
- The 1854 Smith's Prize Examination is available online at: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell took this examination and tied for first place with إدوارد روث. See: Clerk Maxwell، James (1990). Harman، P. M. (المحرر). The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862. Cambridge, England: Cambridge University Press. ص. 237, footnote 2. ISBN:9780521256254. مؤرشف من الأصل في 2020-09-01. See also Smith's prize or the Clerk Maxwell Foundation.
- Clerk Maxwell، James (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism. Oxford, England: Clarendon Press. ج. 1. ص. 25–27. مؤرشف من الأصل في 2016-06-23. In a footnote on page 27, Maxwell mentions that Stokes used the theorem as question 8 in the Smith's Prize Examination of 1854. This footnote appears to have been the cause of the theorem's being known as "Stokes' theorem".
^ Stewart، James (2010). Essential Calculus: Early Transcendentals. Cole.
^ This proof is based on the Lecture Notes given by Prof. Robert Scheichl (جامعة باث, U.K) [1], please refer the [2] نسخة محفوظة 3 أغسطس 2019 على موقع واي باك مشين.
^ This proof is also same to the proof shown in

[cgamma-6] γ و Γ كلاهما عُرْوات (loops)، ومع ذلك، Γ ليس بالضرورة منحنى جوردان

[1] Physics of Collisional Plasmas – Introduction to | Michel Moisan | Springer (بEnglish). Archived from the original on 2019-04-03.

[2] See:
Katz، Victor J. (مايو 1979). "The history of Stokes' theorem". Mathematics Magazine. ج. 52 ع. 3: 146–156. DOI:10.1080/0025570x.1979.11976770.

The letter from Thomson to Stokes appears in: Thomson، William؛ Stokes، George Gabriel (1990). Wilson، David B. (المحرر). The Correspondence between Sir George Gabriel Stokes and Sir William Thomson, Baron Kelvin of Largs, Volume 1: 1846–1869. Cambridge, England: Cambridge University Press. ص. 96–97. ISBN:9780521328319. مؤرشف من الأصل في 2020-09-01.

Neither Thomson nor Stokes published a proof of the theorem. The first published proof appeared in 1861 in: Hankel، Hermann (1861). Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten [On the general theory of the movement of fluids]. Göttingen, Germany: Dieterische University Buchdruckerei. ص. 34–37. مؤرشف من الأصل في 2020-07-27. Hankel doesn't mention the author of the theorem.

In a footnote, Larmor mentions earlier researchers who had integrated, over a surface, the curl of a vector field. See: Stokes، George Gabriel (1905). Larmor، Joseph؛ Strutt، John William, Baron Rayleigh (المحررون). Mathematical and Physical Papers by the late Sir George Gabriel Stokes. Cambridge, England: University of Cambridge Press. ج. 5. ص. 320–321. مؤرشف من الأصل في 2016-05-07.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: أسماء متعددة: قائمة المحررين (link)

[4] Katz، Victor J. (مايو 1979). "The history of Stokes' theorem". Mathematics Magazine. ج. 52 ع. 3: 146–156. DOI:10.1080/0025570x.1979.11976770.

[5] The letter from Thomson to Stokes appears in: Thomson، William؛ Stokes، George Gabriel (1990). Wilson، David B. (المحرر). The Correspondence between Sir George Gabriel Stokes and Sir William Thomson, Baron Kelvin of Largs, Volume 1: 1846–1869. Cambridge, England: Cambridge University Press. ص. 96–97. ISBN:9780521328319. مؤرشف من الأصل في 2020-09-01.

[6] Neither Thomson nor Stokes published a proof of the theorem. The first published proof appeared in 1861 in: Hankel، Hermann (1861). Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten [On the general theory of the movement of fluids]. Göttingen, Germany: Dieterische University Buchdruckerei. ص. 34–37. مؤرشف من الأصل في 2020-07-27. Hankel doesn't mention the author of the theorem.

[7] In a footnote, Larmor mentions earlier researchers who had integrated, over a surface, the curl of a vector field. See: Stokes، George Gabriel (1905). Larmor، Joseph؛ Strutt، John William, Baron Rayleigh (المحررون). Mathematical and Physical Papers by the late Sir George Gabriel Stokes. Cambridge, England: University of Cambridge Press. ج. 5. ص. 320–321. مؤرشف من الأصل في 2016-05-07.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: أسماء متعددة: قائمة المحررين (link)

[3] Darrigol، Olivier (2000). Electrodynamics from Ampère to Einstein. Oxford, England. ص. 146. ISBN:0198505930.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: مكان بدون ناشر (link)

[spivak65-4] أ ^ب Spivak (1965), p. vii, Preface.

[5] See:
The 1854 Smith's Prize Examination is available online at: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell took this examination and tied for first place with إدوارد روث. See: Clerk Maxwell، James (1990). Harman، P. M. (المحرر). The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862. Cambridge, England: Cambridge University Press. ص. 237, footnote 2. ISBN:9780521256254. مؤرشف من الأصل في 2020-09-01. See also Smith's prize or the Clerk Maxwell Foundation.

Clerk Maxwell، James (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism. Oxford, England: Clarendon Press. ج. 1. ص. 25–27. مؤرشف من الأصل في 2016-06-23. In a footnote on page 27, Maxwell mentions that Stokes used the theorem as question 8 in the Smith's Prize Examination of 1854. This footnote appears to have been the cause of the theorem's being known as "Stokes' theorem".

[11] The 1854 Smith's Prize Examination is available online at: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell took this examination and tied for first place with إدوارد روث. See: Clerk Maxwell، James (1990). Harman، P. M. (المحرر). The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862. Cambridge, England: Cambridge University Press. ص. 237, footnote 2. ISBN:9780521256254. مؤرشف من الأصل في 2020-09-01. See also Smith's prize or the Clerk Maxwell Foundation.

[12] Clerk Maxwell، James (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism. Oxford, England: Clarendon Press. ج. 1. ص. 25–27. مؤرشف من الأصل في 2016-06-23. In a footnote on page 27, Maxwell mentions that Stokes used the theorem as question 8 in the Smith's Prize Examination of 1854. This footnote appears to have been the cause of the theorem's being known as "Stokes' theorem".

[Jame-7] Stewart، James (2010). Essential Calculus: Early Transcendentals. Cole.

[bath-8] This proof is based on the Lecture Notes given by Prof. Robert Scheichl (جامعة باث, U.K) [1], please refer the [2] نسخة محفوظة 3 أغسطس 2019 على موقع واي باك مشين.

[proofwik-9] This proof is also same to the proof shown in

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[ملاحظة 1]

[6]

[7]

[8]