نظرية التماثل

تُعنى نظرية في الرياضيات اسمها نظرية التماثل (homology theory) بالدراسة البديهية لفكرة تماثل الدورات (homology of cycles) في الفضاء الطوبولوجي.

فكرة عامة

طارة مع مولدات باللون الوردي والأحمر

يمكن أن نعين لأي فضاءٍ طوبولوجي $X$ وأي عددٍ طبيعي $k$ مجموعةً $H_k(X)$ تُسمى عناصرها أصناف تماثلية (ذات البعد $k$). توجد طريقة محددة لجمع وطرح الأصناف التماثلية، وهذا يحول المجموعة $H_k(X)$ إلى زمرة أبيلية, وتُسمى الزمرة التماثلية الرقم $k$ لـ$X$، ومن الناحية التجريبية فإن حجم وبنية $H_k(X)$ تعطي بيانات عن عددالثقوب ذات البعد $k$ داخل $X$، على سبيل المثال: إذا كان $X$ يساوي العدد ثمانية، فإن لديه ثقبين، وفي هذا الوضع يعتبر أحادي الأبعاد. يمكن التعرف على الزمرة التماثلية المقابلة $H_1(X)$ عن طريق زمرة $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ من أزواج الأعداد الصحيحة مع نسخة واحدة من $\mathbb{Z}$ لكل ثقب. وعلى الرغم من ثبوت أن $X$ له ثقبان، إلا أن المثير للدهشة هو صعوبة صياغة ذلك رياضيًا، وهذا هو الغرض الأساسي من النظرية التماثلية.

وهذا مثالٌ أكثر تعقيدًا، إذا كان $Y$ هو زجاجة كلاين إذن يمكن التعرف على $H_1(Y)$ من خلال $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$، هذا ليس مجموع نسخ $\mathbb{Z}$ فحسب، إنه يعطي بيانات دقيقة أكثر من مجرد عدد الثقوب.

يمكن رسم التعريف الرسمي لـ $H_1(X)$ كما يلي. عناصر $H_1(X)$ هي دوراتٌ أحادية البعد، لكن لا تمثل دورتان العنصر نفسه إلا إذا كانتا متماثلتان. المنحنيات المغلقة هي أبسط أنواع الدورات أحادية البعد في $X$، ويمكن أن تتكون من حلقةٍ أو أكثر. إذا أمكن للمنحنى المغلق $C_0$ أن يتحول شكله داخل $X$ تحولاً مستمرًا في شكل منحنى آخر $C_1$, إذن $C_0$ و$C_1$ متماثلان ولهذا يدلان على العنصر ذاته في $H_1(X)$. وهذا يعرض الفكرة الرئيسية، أما التعريف الشامل فهو أكثر تعقيدًا. للمزيد من التفاصيل، اطلع على التماثلية الفردية (singular homology). يوجد أيضًا نوعًا (يُسمى التماثلية البسيطة) يعمل عندما تُعرض $X$ كـمُعَقَّد بسيط; وهذا يسهل فهمه لكنه أقل مرونةً من الناحية العملية.

على سبيل المثال، ليكن $T$ طارة، كما هو موضح إلى اليمين، وليكن $C$ هو المنحنى الوردي، وليكن $D$ المنحنى الأحمر. للأعدداد الصحيحة $n$ و$m$ يوجد منحنى مغلق يدور عدد $n$ مرة حول $C$ وبعدها يدور عدد $m$ مرة حول $D$، ويرمز إلى هذا $nC+mD$. من الممكن أن نرى أن أي منحنى مغلق داخل $T$ متماثلٌ مع $nC+mD$ لبعض $n$ و$m$, وبالتالي أن $H_1(T)$ متساوي الشكل مع $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$.

المراجع

• Hilton، Peter (1988)، "A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century"، Mathematics Magazine، ج. 60، ص. 282–291، JSTOR:2689545