معادلات كوشي-ريمان

في الرياضيات، معادلات كوشي-ريمان التفاضلية (بالإنجليزية: Cauchy–Riemann equations)‏ في التحليل العقدي تنسب إلى عالم الرياضيات الفرنسي أوغستين لوي كوشي وعالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان. تتكون من نظام من اثنين من المعادلات التفاضيلية الجزئية

معادلات كوشي-ريمان لدالتين قيمهما حقيقيتان، لكل واحدة منهما متغيران اثنان (u(x,y و (v(x,y، هما المعادلتان التاليتان:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$

و

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

عادة ما يتم اعتبار u وv جزءًا حقيقيًا وخياليًا على التوالي لدالة مركبة القيمة لمتغير مركب واحد $z=x+iy,f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$

افترض ان u وv دوال قابلة للاشتقاق عند نقطة في مجموعة جزئية مفتوحة من $\mathbb{C}$, والتي ممكن اعتبارها دالة من ${\mathbb{R}}^{\mathbb{2}}$ إلى $\mathbb{R}$، فإن هذا يؤدي إلى أن المشتقة الجزئية ل u , v موجودة (على الرغم من انها لا تحتاج ان تكون متصلة).

إذا كانت الدالة $f=u+iv$ قابلة للاشتقاق عند النقطة $z_0=x_0+i{y}_0$، فإن المشتقات الجزئية لكلا من u و v موجودة عند النقطة $(x_0,y_0)$ وتحقق معادلات كوشي -ريمان.

مثال

افترض أن الدالة $f(z)=z^2$ ، حيث $z=x+iy$، هي دالة قابلة للاشتقاق عند أي نقطة $z\in \mathbb{C}$

$f(z)=(x+iy{)}^2=x^2-y^2+2ixy$

فيكون الجزء الحقيقي هو: $u(x,y)$ حيث $u(x,y)=x^2-y^2$

والجزء التخيلي هو: $v(x,y)$ حيث $v(x,y)=2xy$

ومشتقاتهم الجزئية هي:

$v_y=2x$

$v_x=2y$

$u_y=-2y$.

$u_x=2x$.

ويلاحظ تحقق شروط معادلات كوشي-ريمان:

$u_x=v_y$.

$u_y=-v_x$.