معادلة هاميلتون

من أرابيكا، الموسوعة الحرة

هذه هي النسخة الحالية من هذه الصفحة، وقام بتعديلها عبود السكاف (نقاش | مساهمات) في 05:12، 12 يونيو 2023 (بوت: إصلاح أخطاء فحص أرابيكا من 1 إلى 104). العنوان الحالي (URL) هو وصلة دائمة لهذه النسخة.

(فرق) → نسخة أقدم | نسخة حالية (فرق) | نسخة أحدث ← (فرق)
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

معادلة هاميلتون في الفيزياء (بالإنجليزية:Hamilton function ) H(t,q,p) هي معادلة تصف حركة نظام مكون من جسيمات وتعطي طاقته كدالة لموضع الجسيمات و وزخم حركتها . وهي معادلة تعتمد على الزمن t و إحداثيات الوضع q=(q1,q2qn) و زخم الحركة لكل الجسيمات p=(p1,p2pn) .

عند دراسة حركة جسيم كتلته m يتحرك بسرعة أقل بكثير من سرعة الضوء ويوجد في بئر جهدي V (مثال تقريبي : إلكترون يتحرك في جهد نواة الذرة) ، فيمكن حساب طاقة الحركة و طاقة الوضع للجسيم (الإلكترون) بالمعادلة:

H(t,q,p)=p22m+V(q)[1]

أما إذا أردنا وصف جسيم حر طليق يتحرك بسرعة مقاربة من سرعة الضوء نحصل على العلاقة بين الطاقة E وزخم الحركة p للجسيم الحر كالآتي:

E2p2c2=m2c4

حيث c سرعة الضوء ,

وتكون معادلة هاميلتون للجسيم الحر (مع أخذ تأثيرات النظرية النسبية الخاصة لأينشتاين في الحسبان) :

H(t,q,p)=m2c4+p2c2.

في ذلك المثالين (جسيم يتحرك في بئر جهدي لنواة أو جسيم حر) لا تعتمد دالة هاميلتون على الزمن ، وعلى ذلك يحتفظ الجسيم بطاقته الابتدائية ، فتكون طاقة الجسيم كمية محفوطة.

دالة هاميلتون و دالة لاغرانج

تمكن تحويل دالة هاميلتون عن طريق تحويل ليجاندر فنحصل على دالة لاغرانج L(t,q,q˙) التي تعتمد على الإحداثيات المعممة للوضع والسرعات , q˙=(q˙1,q˙2q˙n) :

H(t,q,p)=k=1nq˙kpkL(t,q,q˙)

نجد على اليمين السرعات q˙ التي تؤول إلى الدوال q˙(t,q,p) عند تعريف زخوم الحركة حيث زخم الحركة p :

pk=Lq˙k

واستنباطها من السرعات.

وعلى سبيل المثال يعتمد زخم الحركة لجسيم يتحرك بسرعة مقاربة من سرعة الضوء طبقا لدالة لاغرانج :

L=mc21q˙2/c2
p=mq˙1q˙2/c2

أي يعتمد زخم الحركة على السرعات .

وبالعكس نجد ان السرعة دالة لزخم الحركة :

q˙=pc2m2c4+p2c2

وتحدد دالة هاميلتون تغير مكان الجسيمات و زخمها الحركي مع الزمن من خلال معادلة هاميلتون للحركة .

q˙k=Hpk,p˙k=Hqk.

كذلك يعين معامل هاميلتون التغير مع الزمن في ميكانيكا الكم . ويمكن الحصول عليه في مسائل كثيرة من دالة هاميلتون مع أخذ الكمومية في الاعتبار ، وصياغة الدالة H(t,q,p) كدالة للمعاملين q و p .

مراجع

  1. ^ les maths en physiques"la physiques à travers le filtre des mathématiques"

انظر أيضا