حركة جسيم في بعد واحد

حركة جسيم في بعد واحد (بالإنجليزي: Particle in a one-dimensional lattice)

تُناقَش حركةُ الأيونات الموجبة في بعد واحد بافتراض أن البعد بين أيون وآخر يساوي فرق جهد(كمون) في البنية البلورية.

التمثيل الرياضي للكمون هو دالة دورية خلال الفترة a , يتم حلها بواسطة نظرية بلوخ , فيكون حل الدالة الموجية في معادلة شرودنجرهو :

$\psi (x)=e^{ikx}u(x).$

حيث أن : (u(x دالة دورية بشرط أن :$u(x+a)=u(x)$

نطبق شروط بورن فون - كرمان الحدية عند أطراف الشبكة البلورية , بفرض أن L طول الشبكة بالتالي L >> a وهذا يؤدي إلى أن يكون عدد الأيونات(N) كبير جدا داخل الشبكة بالتالي حركة الأيون تكون خطية وداله الموجية ثابته تقريبا , فيكون لدينا شرط حدي واحد :

$\psi (0)=\psi (L).$

يمكننا الآن استبدال الحدود استنادا للعلاقة aN = L , وتطبيق نظرية بلوخ ..بالتالي يمكن تكميم العدد الموجي k

$\psi (0)=e^{ik\cdot 0}u(0)=e^{ikL}u(L)=\psi (L)$

$u(0)=e^{ikL}u(Na)\to e^{ikL}=1$

$\Rightarrow kL=2\pi n\to k=\frac{2\pi }{L}n(n=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm \frac{N}{2}).$

نموذج كرونيج - بيني

يفسر هذا النموذج حركة الكترونات التوصيل بين حاجز جهد مستطيل تحت تأثير فرق جهد دوري , فتكون دالة الجهد تساوي تقريبا فرق الجهد للمستطيل :

وباستخدام نظرية بلوخ لإيجاد حل الدالة على فترة واحدة

$For-\frac{1}{2}(a-b)<x<\frac{1}{2}(a-b):$

$\frac{-{\hslash }^2}{2m}{\psi }_{xx}=E\psi$

$\Rightarrow \psi =A{e}^{i\alpha x}+A^{\prime }{e}^{-i\alpha x}({\alpha }^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2})$

$For-\frac{1}{2}(a+b)<x<-\frac{1}{2}(a-b):$

$\frac{-{\hslash }^2}{2m}{\psi }_{xx}=(E+V_0)\psi$

$\Rightarrow \psi =B{e}^{i\beta x}+B^{\prime }{e}^{-i\beta x}({\beta }^2=\frac{2m(E+V_0)}{{\hslash }^2}).$

ولإيجاد الدالة لجميع الفترات u(x) نقوم بحل الدالة الموجية

$\psi (0<x<a-b)=A{e}^{i\alpha x}+A^{\prime }{e}^{-i\alpha x}=e^{ikx}\cdot (A{e}^{i(\alpha -k)x}+A^{\prime }{e}^{-i(\alpha +k)x})$

$\Rightarrow u(0<x<a-b)=A{e}^{i(\alpha -k)x}+A^{\prime }{e}^{-i(\alpha +k)x}.$

وبنفس الطريقة

$u(-b<x<0)=B{e}^{i(\beta -k)x}+B^{\prime }{e}^{-i(\beta +k)x}.$

$\psi (0^{-})=\psi (0^{+}){\psi }^{\prime }(0^{-})={\psi }^{\prime }(0^{+}).$

$u(-b)=u(a-b)u^{\prime }(-b)=u^{\prime }(a-b).$

فتكون المصفوفة

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& -1\\ \alpha & -\alpha & -\beta & \beta \\ e^{i(\alpha -k)(a-b)}& e^{-i(\alpha +k)(a-b)}& -e^{-i(\beta -k)b}& -e^{i(\beta +k)b}\\ (\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(a-b)}& -(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(a-b)}& -(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}& (\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}A\\ A\text{'}\\ B\\ B\text{'}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right).$

عندما يكون محدد المصفوفة مساويا للصفر , يكون

$\cos (ka)=\cos (\beta b)\cos [\alpha (a-b)]-\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{2\alpha \beta }\sin (\beta b)\sin [\alpha (a-b)].$

وللتبسيط

$b\to 0;V_0\to \mathrm{\infty };V_{0}b=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$

$\Rightarrow {\beta }^{2}b=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t};{\alpha }^{2}b\to 0$

$\Rightarrow \beta b\to 0;\sin (\beta b)\to \beta b;\cos (\beta b)\to 1.$

بالتالي

$\cos (ka)=\cos (\alpha a)-P\frac{\sin (\alpha a)}{\alpha a}(P=\frac{m{V}_{0}ba}{h^2}).$

انظر أيضا

• نموذج الإلكترون الحر
• بنية بلورية