تحليل كسري جزئي

من أرابيكا، الموسوعة الحرة

هذه هي النسخة الحالية من هذه الصفحة، وقام بتعديلها عبود السكاف (نقاش | مساهمات) في 20:14، 4 يوليو 2023 (بوت: إصلاح أخطاء فحص أرابيكا من 1 إلى 104). العنوان الحالي (URL) هو وصلة دائمة لهذه النسخة.

(فرق) → نسخة أقدم | نسخة حالية (فرق) | نسخة أحدث ← (فرق)
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في الرياضيات، التفكيك الكسري الجزئي (بالإنجليزية: partial fraction decomposition)‏ أو الكسور الجزئية هي طريقة تسمح بإعادة كتابة دالة كسرية[1] على الشكل:

f(x)g(x)

إلى شكل

anhn(x)

حيث f(x) و g(x) متعددتا حدود وan معاملات يتم تحديدها. وتختلف طريقة الحل بناء على درجة دالتي البسط والمقام.

درجة البسط أقل من درجة المقام

مثال لهذه الحالة:
2(3x+1)(x2+2)

نقوم بتحليل المقام إلى دوال بسيطة، ونفرض دوال للبسط بحيث يكون درجة دالة البسط أقل من درجة المقام ويكون الحل هكذا:

2(3x+1)(x2+2)=A(3x+1)+Bx+C(x2+2)

ثم نقوم بتوحيد المقام، وبما أن المقامين متساويان فإن البسطين يكونان متساويان:

2=A(x2+2)+(Bx+C)(3x+1)

ونضع قيم مختلفة للمتغير x ونحل المعادلة ونستخرج قيم A,B,C.

درجة البسط أكبر من درجة المقام أو تساويها

ومثال لهذه الحالة:

2x29x442x27x15

نقوم باستخدام القسمة المطولة

I=1+2x292x27x15

وهكذا تكون في النهاية

I=1+2x292x27x15=1+Ax+C2x27x15

ثم نساوي 2x29=Ax+C

ونضع قيما مختلفة للمتغير x و نحسب قيم A,C .

تطبيق الكسور الجزئية في التكامل

لتطبيق الكسور الجزئية في حساب التكامل الرمزي، من خلال:

Q(x)=(xα1)(xα2)(xαn) ,P(x)
P(x)Q(x)=c1xα1+c2xα2++cnxαn

مثال على ذلك:

x4+x3+x2+1x2+x2dx
x2+3+3x+7(x+2)(x1)dx
x2+3+3x+7(x+2)(x1)dx=x2+3+A(x+2)+B(x1)dx
A(x1)+B(x+2)=3x+7.
A=133,B=43
x2+3+13/3(x+2)+4/3(x1)dx=x33+3x133ln(|x+2|)+43ln(|x1|)+C

المراجع

  1. ^ Larson, Ron (2016). Algebra & Trigonometry (بEnglish). Cengage Learning. ISBN:9781337271172. Archived from the original on 2020-02-09.