مقدار (رياضيات)

  لمعانٍ أخرى، طالع مقدار (توضيح).

المقدار (بالإنجليزية:Magnitude) لغةً هو المقياس، وفي الرياضيات هو كمية قياس رياضي لغرض ما (طول طريق، وزن سيارة، شدة إضاءة مصباح... الخ). تمكّننا القيمة العددية للمقدار من مقارنة الأشياء ببعضها حسب ترتيب كبر أو صِغر المقدار الذي يُراد قياسه والمتعلق بكل من هذه الأشياء، فمثلا نقول:

- هذه الطريق أطول من تلك

- هذه السيارة أثقل من تلك

-هذا المصباح أشد سطوعًا من ذلك المصباح.

وذلك يتم باستخدام المصطلح التقني

و يعرف المقدار بأنه مرتبة الغرض المقاس ضمن فئة القياس المأخوذة بعين الاعتبار (أطوال، أوزان، شدة إضاءة).

وقد صنف اليونانيون عدة أنواع من المقادير وهي:

• الكسور الموجبة.
• تقسيم الخطوط (ترتب حسب الطول).
• تقسيم الأجسام (حسب المساحة).
• المواد الصلبة (حسب الحجم).
• الزوايا (تقسم حسب المقدار الزاويّ).

وقد أثبتوا بأنَ الأولين لا يمكن أن يكونا نفس الشيء، أو حتى متساوية بنظام المقادير. ولم يأخذوا بالاعتبار جدوى المقادير السالبة. ولا يزال المقدار يستخدم بصورة رئيسية بالسياقات التي يكون الصفر إما أقل معياراً منها أو يكون أقل من جميع المعايير الأخرى.

أعداد حقيقية

مقدار الأعداد الحقيقية يسمى بالقيمة المطلقة ويكتب هكذا | x | ورمزه:

| x = | x, إذا x ≥ 0.

| x − = | x, إذا x < 0.

فهذا يعطي مساحة للرقم من الصفر على خط الأعداد الحقيقية، فمثلا معامل الرقم 5 هو -5.

أعداد مركبة

بشكل مماثل فإن مقدار أي عدد مركب يطلق عليه القيمة المطلقة، ويعطي المسافة من الصفر في المستوي المركب. صيغة حساب مقدار العدد العقدي مشابهة لمبرهنة فيثاغورس

$\left|z\right|=\sqrt{\mathrm{\Re }(z{)}^2+\mathrm{\Im }(z{)}^2}$

حيث ℜ(z) وℑ(z) هما الجزئين الحقيقي والتخيلي للعدد المركب z. على سبيل المثال فإن مقدار العدد التخيلي −3 + i 4 يساوي 5.

المتجهات الإقليدية

إن مقدار أي متجهة x للأعداد الحقيقية في الفضاء الإقليدي يعرف باسم الطويلة الإقليدية وتشتق من المسافة الإقليدية: وهي الجذر التربيعي للجداء الداخلي للمتجهة بنفسها:

$\left|\mathbf{x}\right|=\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}.$

حيث x = [x₁, x₂,..., x_n]. يستخدم الرمز |x| أيضاً للتعبير عن الطويلة. على سبيل المثال، إن مقدار المتجهة [4, 5, 6] هو √(4² + 5² + 6²) = √77 ويساوي تقريباً 8.775.

الفضاء الاتجاهي العام

من الممكن تطبيق مفهوم المقدار إلى الفضاء الاتجاهي بشكله العام. ويطلق عليه اسم الفضاء الاتجاهي المقداري، حيث التابع الذي يعطي مقدار أي متجهة يطلق عليه اسم الطويلة.