مصفوفة معرفة موجبة

في الجبر الخطي، نقول عن المصفوفة $M$ الحقيقية المتساوية الأبعاد $n\times n$ بأنها معرّفة موجبة إذا كان الجداء $z^{\mathrm{T}}Mz$ موجبا لأجل كل شعاع عمودي $z$ غير صفري ذو $n$ عدد حقيقي. هنا تشير $z^{\mathrm{T}}$ إلى منقول الشعاع $z$

أمثلة

• المصفوفة الواحدية

$I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

هي مصفوفة معرفة موجبة حيث أنها مصفوفة حقيقية ومتناظرة ولأجل كل شعاع $z$ غير صفري يحوي العنصرين $a,b$ فإنه يكون

$z^{\mathrm{T}}Iz=\left[\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]=a^2+b^2$

الناتج عبارة عن مجموع من المربعات وليس سالب

• المصفوفة المتناظرة الحقيقية التالية:

$M=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right]$

هي مصفوفة معرفة موجبة حيث أنه لأجل كل شعاع $z$غير صفري يحوي العنصرين $a,b$ فإنه يكون

$\begin{array}{rr}{z}^{\mathrm{T}}Mz=(z^{\mathrm{T}}M)z& =\left[\begin{array}{ccc}(2a-b)& (-a+2b-c)& (-b+2c)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]\\ & =2a^2-2ab+2b^2-2bc+2c^2\\ & =a^2+(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+c^2\end{array}$

الناتج عبارة عن مجموع من المربعات وليس سالب

• المصفوفة الحقيقية التالية

$N=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]$

هي ليست معرفة موجبة. مثلا من أجل الشعاع $z$ له الشكل

$\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$

فإنه

$z^{\mathrm{T}}Nz=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]=-2<0.$

الخصائص

1. من أهم خواص المصفوفة المعرفة الموجبة هي أن كل القيم الذاتية لها هي قيم موجبة