متتالية حسابية

في الرياضيات، المتتالية الحسابية أو المتتابعة الحسابية (بالإنجليزية: Arithmetic progression)‏ هي متتالية من الأعداد حيث يكون الفرق بين أي حدين متتالين ثابتا. على سبيل المثال فإن 3، 5، 7، 9، 11، 13، … هي متتالية حسابية لها أساس يساوي 2. أي أنّ 3، 5، 7 هي حدود من هذه المتتالية والأساس 2 هو العدد المضاف بين كل حدّين متتاليين.

إذا كان الحد الأول من المتتالية الحسابية هو $a_1$ والفرق بين حدين متتاليين هو $d$ عندها يعبر عن الحد ذي الترتيب $n$ من متتالية حسابية بالعلاقة التالية:

$a_n=a_1+(n-1)d,$

أو بشكل عام:$a_n=a_m+(n-m)d.$

مثال

المتتالية 1 ،-3 ،-7، -11,.... حدها الأول هو 1 وأساسها هو 4- لأن الفرق بين حدين متتابعين يساوي دائما 4. وحتى نحصل على d نطرح كل حد من سابقه كالتالي:

$1-(-3)=4$

لايجاد الحد النوني العشرين على سبيل المثال، تُطبق المعادلة السابقة:

$a_{20}=1+(20-1)*-4=-75$

المجموع

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40
16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

حساب المجموع 2 + 5 + 8 + 11 + 14. حين تكتب حدود المتتالية عكسيا، وتضاف إلى الحدود نفسها حداً حداً، تكون النتيجة مساوية لقيمة وحيدة متكررة، مساويةً لمجموع الحدين الأول والأخير (2 + 14 = 16). إذن، 16 × 5 = 80 هو ضعف المجموع المراد البحث عنه.

مجموع حدود متتالية حسابية منتهية يسمى متسلسلة حسابية. على سبيل المثال،:$2+5+8+11+14$

الاستنتاج

$S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots +(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)$

$S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots +(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n.$

$2S_n=n(a_1+a_n).$

$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n).$

الجداء

جداء حدود متتالية حسابية منتهية، قيمتها الأولى هي a1، والفرق المشترك بين حدودها هو d وعدد عناصرها هو n:

$a_1{a}_2\cdots a_n=d\frac{a_1}{d}d(\frac{a_1}{d}+1)d(\frac{a_1}{d}+2)\cdots d(\frac{a_1}{d}+n-1)=d^n{(\frac{a_1}{d})}^{\overline{n}}=d^n\frac{\mathrm{\Gamma }(a_1/d+n)}{\mathrm{\Gamma }(a_1/d)},$

حيث $\mathrm{\Gamma }$ هي دالة غاما.

الانحراف المعياري

يحسب الانحراف المعياري لممتالية حسابية كما يلي:

$\sigma =\left|d\right|\sqrt{\frac{(n-1)(n+1)}{12}}$

حيث n هو عدد الحدود في المتتالية وd هو الفرق بين حدين متتابعين ما.

انظر أيضا

• متتالية
• متتالية هندسية