مبرهنة ديكارت

في الهندسة الرياضية، مبرهنة ديكارت هي مبرهنة تقيم علاقة بين أربع دوائر تقبيل.^[1]^[2] وقد سميت هذه المبرهنة نسبة إلى رينيه ديكارت. من الممكن أن تستخدم هذه المبرهنة لإنشاء دائرة مماسة لثلاث دوائر متماسة مفترضة.

نص المبرهنة

إذا كان لأربع دوائر متماسة درجة انحناء k_i حيث (i = 1…4)، عندها تنص مبرهنة ديكارت مايلي:

(1)

(k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{4})^{2} = 2 (k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + k_{3}^{2} + k_{4}^{2}) .

وعند محاولة إيجاد نصف قطر دائرة رابعة مماسة لثلاث داوئر تقبيل، فتكتب العلاقة بالشكل:

(2)

k_{4} = k_{1} + k_{2} + k_{3} \pm 2 \sqrt{k_{1} k_{2} + k_{2} k_{3} + k_{3} k_{1}} .

حيث إشارة ± تشير إلى وجود حلين.

وباستخدام أنصاف أقطار الدوائر، تصبح العلاقة بالشكل:

{(\pm {\frac{1}{r}}_{1} + {\frac{1}{r}}_{2} + {\frac{1}{r}}_{3} + {\frac{1}{r}}_{4})}^{2} = 2 (\frac{1}{r_{1}^{2}} + \frac{1}{r_{2}^{2}} + \frac{1}{r_{3}^{2}} + \frac{1}{r_{4}^{2}}) .

مراجع

^ A Collection of Algebraic Identities: Sums of Three or More 4th Powers نسخة محفوظة 17 أبريل 2018 على موقع واي باك مشين.
^ Jeffrey C. Lagarias؛ Colin L. Mallows؛ Allan R. Wilks (أبريل 2002). "Beyond the Descartes Circle Theorem". The American Mathematical Monthly. ج. 109 ع. 4: 338–361. DOI:10.2307/2695498. JSTOR:2695498.

في كومنز صور وملفات عن: مبرهنة ديكارت

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات او موضوع متعلق بها بحاجة للتوسيع. فضلًا شارك في تحريرها.

[1] A Collection of Algebraic Identities: Sums of Three or More 4th Powers نسخة محفوظة 17 أبريل 2018 على موقع واي باك مشين.

[2] Jeffrey C. Lagarias؛ Colin L. Mallows؛ Allan R. Wilks (أبريل 2002). "Beyond the Descartes Circle Theorem". The American Mathematical Monthly. ج. 109 ع. 4: 338–361. DOI:10.2307/2695498. JSTOR:2695498.

[1]

[2]