مبرهنة الجذر النسبي

في الجبر، مبرهنة الجذر النسبي (بالإنجليزية: Rational root theorem)‏ هي مبرهنة تتعلق بالحلول الجذرية لمعادلة حدودية معاملاتها أعداد صحيحة.[1][2] لتكن المعادلة الحدودية

anxn+an1xn1++a0=0

حيث المعاملات أعداد صحيحة (aiZ) وحيث المعاملان الأول والأخير يختلفان عن الصفر (a0,an0).

كل حل نسبي لـx يمكن كتابته على شكل كسر x=p/q في ابسط صورة تحقق أن p عدد صحيح يقسم a0 و q عدد صحيح يقسم معامل an.
من النتائج المباشرة من المبرهنة هي أن الحل النسبي يجب أن يكون صحيحاً في حال an=1.

البرهان

نعرف كثيرة الحدود P(x)=anxn+an1xn1++a0=0 حيث an,,a0 أعداد صحيحة ولنفرض أن p/q حل P(x) حيث p,q أوليان نسبياً.

بالتعويض في P(x) نحصل على

P(p/q)=an(p/q)n+an1(p/q)n1++a1(p/q)+a0=0

وبنقل a0 للطرف الآخر وضرب طرفي المعادلة في qn وأخذ p كعامل مشترك نصل إلى

p(anpn1+an1qpn2++a1qn1)=a0qn.

وبما أن ما بين الأقواس عدد صحيح ولكون p,q أوليان نسبياً نصل إلى أن p تقسم a0. و بالمثل، إذا نقلنا الحد القائد an للطرف الآخر وبالضرب في qn نصل إلى

q(an1pn1+an2qpn2++a0qn1)=anpn.

و بالمثل نستنتج أن q تقسم an .

مثال

على سبيل المثال. جميع الجذور النسبية للمعادلة

3x35x2+5x2=0

يجب أن يكونوا من ضمن الأعداد

± 1,21,3,

والذي يعطي 8 إجابات ممكنة:

1,1,2,2,13,13,23,23.

يمكن إيجاد الحل منها بالعدديد من الطرق، على سبيل المثال طريقة هورنر.

مراجع

  1. ^ "معلومات عن مبرهنة الجذر النسبي على موقع britannica.com". britannica.com. مؤرشف من الأصل في 2019-03-27.
  2. ^ "معلومات عن مبرهنة الجذر النسبي على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2020-03-18.

روابط خارجية