كمون إتجاهي

في حساب المتجهات، الكمون الإتجاهي هو حقل متجهي ودورانه عبارة عن حقل متجهي. وهذا مماثل للكمون القياسي (العددي)، وهو حقل قياسي وتدرجه عبارة عن حقل متجهي.

الصيغة الرياضية :

لحقل متجهي v، الكمون الإتجاهي هو حقل متجهي A بحيث أن :

$\mathbf{v}=\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A}$

النتيجة :

إذا كان الحقل المتجهي v يُعطي حقل متجهي A، وبمعرفة أن تباعد الدوران (Divergence of the curl) يساوي صفر :

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{v}=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A})=0$

$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A})=0$

وهذا يقتضي أن يكون v حقل متجهي لولبي(solenoidal vector field)، أي أن قيمة التباعد عند أي نقطة في المجال تساوي صفر.

النظرية:

ليكن v (متجه في فضاء ثلاثي الأبعاد) حقل متجهي لولبي قابل للإشتقاق مرتين بشكل متصل. افترض أن v(x) ينقص بسرعة كافية كلما ذهبت ||x|| للمالانهاية :

$\mathbf{A}(\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi }{\int }_{{\mathbb{R}}^3}\frac{{\mathrm{\nabla }}_y\times \mathbf{v}(\mathbf{y})}{\Vert \mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert }{d}^3\mathbf{y}.$

و A عبارة عن كمون إتجاهي لـ v :

$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A}=\mathbf{v}$

تعميم لهذه النظرية هو تحليل هلمهولتز الذي ينص على أن أي حقل إتجاهي يمكن أن يتم تحليله كمجموع حقل متجهي لولبي وحقل متجهي لا دوراني.

عدم التفرد:

الكمون الإتجاهي لمتجه لولبي ليس وحيد. إذا كان A كمون إتجاهي لـ v ، إذن ($\mathbf{A}+\mathrm{\nabla }f$) هو كذلك كمون إتجاهي ، حيث f عبارة عن أي اقتران عددي متصل قابل للإشتقاق. وهذا يتبع لحقيقة أن قيمة دوران التباعد هي صفر.