كسيرية ليابونوف

في الرياضيات، كسيريات ليابونوف (وقد تعرف أيضا باسم كسيريات ماركوس-ليابونوف) هي كسيريات متشعبة منبثقة من تمديد لمتتالية لوجستية، حيث درجة نمو الساكنة تتناوب على قيمتين اثنتين A و B, الواحدة تلو الأخرى.

Standard ليابونوفlogistic fractal with iteration sequence AB, in the region [2, 4] × [2, 4].

Generalized ليابونوف logistic fractal with iteration sequence AABAB, in the region [2, 4] × [2, 4].

Generalized ليابونوف logistic fractal with iteration sequence BBBBBBAAAAAA, in the growth parameter region (A,B) in [3.4, 4.0] × [2.5, 3.4], known as Zircon Zity.

خوارزمية توليد كسيريات ليابونوف

فيما يلي خوارزمية تمكن من الحصول على كسيرية ليابونوف:

1. اختر سلسلة مكونة من الحرفين A و B، طولها غير بديهي. على سبيل المثال AABAB،
2. اعتبر المتتالية $S$ المكونة من عناصر سلسلة الحروف المختارة في النقطة الأولى،
3. اختر نقطة $(a,b)\in [0,4]\times [0,4]$،
4. عرِّف الدالة $r_n=a$ إذا كان $S_n=A$, و $r_n=b$ إذا كان $S_n=B$.
5. ليكن $x_0=0.5$, ثم احسب القيم التالية بشكل متكرر $x_{n+1}=r_n{x}_n(1-x_n)$.
6. احسب أس ليابونوف:
   $\lambda =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N\log \left|\frac{d{x}_{n+1}}{d{x}_n}\right|=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N\log |r_n(1-2x_n)|$
   بشكل عملي، $\lambda$ يُقترب منها باختيار قيم كبيرة بما فيه الكفاية للعدد $N$.
7. لوِّن النقطة $(a,b)$ بعد النظر إلى القيمة التي أخذتها $\lambda$.
8. أعد الخطوات (3–7) لكل نقطة في المجال المطلوب من المستوى.

وصلات خارجية

• EFG's Fractals and Chaos – Lyapunov Exponents