قاعدة معيارية (جبر خطي)

في الرياضيات ، القاعدة المعيارية (تسمى أيضًا القاعدة الناظمية ) لفضاء متجهي ذو إحداثيات هي مجموعة المتجهات التي تكون كل إحداثياتها عدا واحدة صفرًا ، وتكون الإحداثية المستثناة تساوي 1. على سبيل المثال ، في حالة المستوى الإقليدي المكون من أزواج (x, y) من الأعداد الحقيقية، تتكون القاعدة المعيارية من المتجهات

كل متجه a في الفضاء هو تركيبة خطية من متجهات القاعدة المعيارية i و j و k .

${\mathbf{e}}_x=(1,0),{\mathbf{e}}_y=(0,1).$

و كذلك، فإن القاعدة المعيارية للفضاء ثلاثي الأبعاد تتكون من المتجهات

${\mathbf{e}}_x=(1,0,0),{\mathbf{e}}_y=(0,1,0),{\mathbf{e}}_z=(0,0,1).$

هنا يشير المتجه e_x في اتجاه x ، ويشير المتجه e_y في اتجاه y ، ويشير المتجه e_z في اتجاه z . هناك العديد من الرموز الشائعة لمتجهات القاعدة المعيارية ، منها {e_x, e_y, e_z} و {e₁, e₂, e₃} و {i, j, k} و {x, y, z}. تتم كتابة هذه المتجهات أحيانًا بقبعة للتذكير بأنها من متجهات الوحدة ( متجهات الوحدة المعيارية ).

هذه المتجهات هي قاعدة بمعنى أنه يمكن التعبير عن أي متجه آخر كتركيبة خطية منها بشكل فريد. على سبيل المثال ، يمكن كتابة كل متجه v في الفضاء ثلاثي الأبعاد بشكل فريد كالنحو التالي:

$v_x{\mathbf{e}}_x+v_y{\mathbf{e}}_y+v_z{\mathbf{e}}_z,$

حيث تكون الكميات العددية v_x, v_y, v_z هي المكونات العددية للمتجه v .

في الفضاء الإقليدي ذو $n$ أبعاد ${\mathbf{R}}^n$ ، تتكون القاعدة المعيارية من $n$ متجهات مختلفة

$\{{\mathbf{e}}_i:1\le i\le n\},$

حيث يشير e_i إلى المتجه الذي لديه 1 في الإحداثية عدد $i$ و 0 في الإحداثيات الأخرى.

يمكن تعريف القواعد المعيارية لفضاءات متجهية أخرى إذا كان تعريف هذه الفضاءات يتضمن معاملات ، مثل فضاءات متعددات الحدود وفضاءات المصفوفات . في كلتا الحالتين ، تتكون القاعدة المعيارية من عناصر الفضاء التي تكون جميع معاملاتها 0 باستثناء واحد يكون 1. بالنسبة لمتعددات الحدود ، تتكون القاعدة المعيارية من وحيدات الحد وتسمى عادة القاعدة الأحادية الحد . للمصفوفات ${\mathcal{M}}_{m\times n}$ ، تتكون القاعدة المعيارية من المصفوفات m × n ذات مكون واحد غير صفري ، والذي يساوي 1. على سبيل المثال ، يتم تشكيل القاعدة المعيارية لمصفوفات 2 × 2 بواسطة المصفوفات الأربع

${\mathbf{e}}_{11}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),{\mathbf{e}}_{12}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),{\mathbf{e}}_{21}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),{\mathbf{e}}_{22}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$