ضرب هادامار

ضرب هادامار (بالإنجليزية: Hadamard product)‏ في الرياضيات هي عملية ثنائية تأخذ مصفوفتين من نفس البعد و تعطي مصفوفة ثالثة كل عنصر $ij$ هي جداء العناصر في $ij$ لهاتين المصفوفتين. تمت تسمية هذا الضرب على شرف عالم الرياضيات الفرنسي جاك هآدمار، أو عالم الرياضيات الألماني ایسای شور.

ضرب هادامار

تعريف

لمصفوفتين $A$ و $B$ التي لهما أبعاد $m\times n$، ضرب هادامار $A\circ B$ أو $A\odot B$ مصفوفة بنفس الأبعاد (أي $m\times n$ ) يتم حساب قيمها على النحو التالي:

$(A\circ B{)}_{ij}=(A\odot B{)}_{ij}=(A{)}_{ij}(B{)}_{ij}.$

لم يتم تعريف هذا الضرب للمصفوفات ذات الأبعاد المختلفة.

مثال

لمصفوفتين $A$ و $B$ ($3\times 3$) ضرب هادامار يساوي:

$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\circ \left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{12}{b}_{12}& a_{13}{b}_{13}\\ a_{21}{b}_{21}& a_{22}{b}_{22}& a_{23}{b}_{23}\\ a_{31}{b}_{31}& a_{32}{b}_{32}& a_{33}{b}_{33}\end{array}\right].$

خواص

• إذا $A$ و $B$ المصفوفات التي لها نفس الأبعاد لا تزيد مرتبة ضرب هادمار عن رتب الضرب لمصفوفتين:

$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathbf{A}\circ \mathbf{B})\le \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathbf{A})\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathbf{B})$

• إذا $A$ و $B$ و $C$ المصفوفات بنفس الأبعاد وکانت $k$ رقمًا حقيقيًا ثم:

$\begin{array}{rr}& \mathbf{A}\circ \mathbf{B}=\mathbf{B}\circ \mathbf{A},\\ & \mathbf{A}\circ (\mathbf{B}\circ \mathbf{C})=(\mathbf{A}\circ \mathbf{B})\circ \mathbf{C},\\ & \mathbf{A}\circ (\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\circ \mathbf{B}+\mathbf{A}\circ \mathbf{C},\\ & (k\mathbf{A})\circ \mathbf{B}=\mathbf{A}\circ (k\mathbf{B})=k(\mathbf{A}\circ \mathbf{B}),\\ & \mathbf{A}\circ \mathbf{0}=\mathbf{0}\circ \mathbf{A}=\mathbf{0}.\end{array}$

• للنواقل $x$ و $y$ ومصفوفاتهم القطرية $D_x$ و $D_y$ يتم إنشاء العلاقات التالية:

${\mathbf{x}}^{*}(\mathbf{A}\circ \mathbf{B})\mathbf{y}=\mathrm{t}\mathrm{r}({\mathbf{D}}_{\mathbf{x}}^{*}\mathbf{A}{\mathbf{D}}_{\mathbf{y}}{\mathbf{B}}^{\mathsf{T}}),$

$\begin{array}{rr}{\sum }_i(A\circ B{)}_{ij}& ={(B^{\mathsf{T}}A)}_{jj}\\ & ={(A{B}^{\mathsf{T}})}_{ii}.\end{array}$

$(\mathbf{y}{\mathbf{x}}^{*})\circ \mathbf{A}={\mathbf{D}}_{\mathbf{y}}\mathbf{A}{\mathbf{D}}_{\mathbf{x}}^{*}$

• لقيم ذاتية من المصفوفات $A$ و $B$ العلاقة التالية تحمل:

$\prod _{i=k}^n{\lambda }_i(\mathbf{A}\circ \mathbf{B})\ge \prod _{i=k}^n{\lambda }_i(\mathbf{A}\mathbf{B}),k=1,\dots ,n,$

وصلات داخلية

• مصفوفة (رياضيات)
• جاك هآدمار
• ضرب المصفوفات
• قيم ذاتية ومتجهات ذاتية
• مصفوفة قطرية