شيفي

في الهندسة، الشيڤي (بالإنجليزية: Cevian)‏ أو قاطع المثلث هو خطٌ يمر برأس مثلث، ويقطع الجانب المقابل لذلك الرأس.^[1]^[2] تُعدُّ المتوسطات ومنصفات الزوايا من الشيڤيّات. يُسمى الشيڤي نسبةً إلى عالم الرياضيات الإيطالي جيوفاني شيفا، الذي أثبت مبرهنة معروفة عن الشيڤيات والتي تحمل اسمه أيضًا.^[3]

الطول

مثلث بطول سيفيان د

يمكن تحديد طول قاطع المثلث من خلال مبرهنة ستيوارت: في الرسم الآتي ، يُحسب طول الشيڤي $d$ عبر الصيغة:

b^{2} m + c^{2} n = a (d^{2} + m n) .

إذا كان القاطع متوسطًا (وبالتالي منصفاً لضلعٍ ، فيمكن تحديد طوله من الصيغة

m (b^{2} + c^{2}) = a (d^{2} + m^{2})

أو

2 (b^{2} + c^{2}) = 4 d^{2} + a^{2}

ولأنّ

a = 2 m .

فإنّ

d = \sqrt{\frac{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}{4}} .

إذا كان القاطع منصف زاوية ، فإن طوله يخضع للصيغة

(b + c)^{2} = a^{2} (\frac{d^{2}}{m n} + 1),

و ^[4]

d^{2} + m n = b c

و

d = \frac{2 \sqrt{b c s (s - a)}}{b + c}

ضلع الطول $a$ مقسوم بالنسبة $b : c$ .

إذا تصادف أن يكون القاطع ارتفاعًا وبهذا عمودياً على جانب، فإن طوله يخضع للصيغة

d^{2} = b^{2} - n^{2} = c^{2} - m^{2}

و

d = \frac{2 \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}}{a},

حيث يكون مقياس نصف القطر s = ( a + b + c ) / 2.

شاطر المثلث هو قاطع ينصف المحيط . تتلاقى شواطر المثلث الثلاثة عند نقطة ناجل في المثلث.

^ Coxeter، H. S. M.؛ Greitzer، S. L. (1967). Geometry Revisited. Washington, DC: اتحاد الرياضيات الأمريكي. ص. 4. ISBN:0-883-85619-0.
^ Some authors exclude the other two sides of the triangle, see Eves (1963)
^ Lightner، James E. (1975). "A new look at the 'centers' of a triangle". مجلس معلمي الرياضيات الوطني. ج. 68 ع. 7: 612–615. JSTOR:27960289.
^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929), p. 70.

Eves، Howard (1963)، A Survey of Geometry (Vol. One)، Allyn and Bacon
Ross Honsberger (1995). Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, pages 13 and 137. Mathematical Association of America.
Vladimir Karapetoff (1929). "Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle." American Mathematical Monthly 36: 476–479.
Indika Shameera Amarasinghe (2011). “A New Theorem on any Right-angled Cevian Triangle.” Journal of the World Federation of National Mathematics Competitions, Vol 24 (02), pp. 29–37.