في الرياضيات ، يشير مصلح شعاع توافقيات كروية إلى تعميم مفهوم التوافقيات الكروية على الأشعة عوضا عن المقادير السلمية التي تستخدم عادة لحل معادلة لابلاس.
تعريف
يوجد اصطلاحات متعددة سنستعرض احداها وحسب ، يعرف شعاع التوافقيات الكروية على التحو التالي :
Y l m = Y l m r ^
Ψ l m = r ∇ Y l m
Φ l m = r → × ∇ Y l m
E = ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l ( E l m r ( r ) Y l m + E l m ( 1 ) ( r ) Ψ l m + E l m ( 2 ) ( r ) Φ l m )
الخواص الأساسية
Y l , − m = ( − 1 ) m Y l m * Ψ l , − m = ( − 1 ) m Ψ l m * Φ l , − m = ( − 1 ) m Φ l m *
التعامد
لنأخد منشور متعدد الأقطاب لحقل سلمي ما
ϕ = ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l ϕ l m ( r ) Y l m ( θ , ϕ )
يمكن التعبير عن التدرج باستخدام مفهوم شعاع التوافقيات الكروية كما يلي
∇ ϕ = ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l ( d ϕ l m d r Y l m + ϕ l m r Ψ l m )
التفرق
من أجل أي حقل متعدد الأقطاب لدينا :
∇ ⋅ ( f ( r ) Y l m ) = ( d f d r + 2 r f ) Y l m
∇ ⋅ ( f ( r ) Ψ l m ) = − l ( l + 1 ) r f Y l m
∇ ⋅ ( f ( r ) Φ l m ) = 0
من خلال التركيب سنحصل على التفرق لأي حقل شعاعي كما يلي
∇ ⋅ E = ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l ( d E l m r d r + 2 r E l m r − l ( l + 1 ) r E l m ( 1 ) ) Y l m
الدوران
∇ × ( f ( r ) Y l m ) = − 1 r f Φ l m
∇ × ( f ( r ) Ψ l m ) = ( d f d r + 1 r f ) Φ l m
∇ × ( f ( r ) Φ l m ) = − l ( l + 1 ) r f Y l m − ( d f d r + 1 r f ) Ψ l m
أمثلة
الشعاع التوافقي الكروي الأول
Y 1 0 = 3 4 π cos θ r ^
Y 1 1 = − 3 8 π e i φ sin θ r ^
Ψ 1 0 = − 3 4 π sin θ θ ^
Ψ 1 1 = − 3 8 π e i φ ( cos θ θ ^ + i φ ^ )
Φ 1 0 = − 3 4 π sin θ φ ^
Φ 1 1 = 3 8 π e i φ ( i θ ^ − cos θ φ ^ )
Y 2 0 = 1 4 5 π ( 3 cos 2 θ − 1 ) r ^
Y 2 1 = − 1 5 8 π sin θ cos θ e i φ r ^
Y 2 2 = 1 4 1 5 2 π sin 2 θ e 2 i φ r ^
Ψ 2 0 = − 3 2 5 π sin θ cos θ θ ^
Ψ 2 1 = − 1 5 8 π e i φ ( cos 2 θ θ ^ + i cos θ φ ^ )
Ψ 2 2 = 1 5 8 π sin θ e 2 i φ ( cos θ θ ^ + i φ ^ )
Φ 2 0 = − 3 2 5 π sin θ cos θ ϕ ^
Φ 2 1 = 1 5 8 π e i φ ( i cos θ θ ^ − cos 2 θ φ ^ )
Φ 2 2 = 1 5 8 π sin θ e 2 i φ ( − i θ ^ + cos θ φ ^ )