شعاع توافقات كروية

في الرياضيات ، يشير مصلح شعاع توافقيات كروية إلى تعميم مفهوم التوافقيات الكروية على الأشعة عوضا عن المقادير السلمية التي تستخدم عادة لحل معادلة لابلاس.

تعريف

يوجد اصطلاحات متعددة سنستعرض احداها وحسب ، يعرف شعاع التوافقيات الكروية على التحو التالي :

• ${\mathbf{Y}}_{lm}=Y_{lm}\hat{\mathbf{r}}$
• ${\mathrm{\Psi }}_{lm}=r\mathrm{\nabla }{Y}_{lm}$
• ${\mathrm{\Phi }}_{lm}=\overrightarrow{\mathbf{r}}\times \mathrm{\nabla }{Y}_{lm}$

$\mathbf{E}=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-l}^l(E_{lm}^r(r){\mathbf{Y}}_{lm}+E_{lm}^{(1)}(r){\mathrm{\Psi }}_{lm}+E_{lm}^{(2)}(r){\mathrm{\Phi }}_{lm})$

الخواص الأساسية

التناظر

${\mathbf{Y}}_{l,-m}=(-1{)}^m{\mathbf{Y}}_{lm}^{*}{\mathrm{\Psi }}_{l,-m}=(-1{)}^m{\mathrm{\Psi }}_{lm}^{*}{\mathrm{\Phi }}_{l,-m}=(-1{)}^m{\mathrm{\Phi }}_{lm}^{*}$

تدرج حقل سلمي

لنأخد منشور متعدد الأقطاب لحقل سلمي ما

$\varphi =\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-l}^l{\varphi }_{lm}(r)Y_{lm}(\theta ,\varphi )$

يمكن التعبير عن التدرج باستخدام مفهوم شعاع التوافقيات الكروية كما يلي

$\mathrm{\nabla }\varphi =\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-l}^l(\frac{\mathrm{d}{\varphi }_{lm}}{\mathrm{d}r}{\mathbf{Y}}_{lm}+\frac{{\varphi }_{lm}}{r}{\mathrm{\Psi }}_{lm})$

التفرق

من أجل أي حقل متعدد الأقطاب لدينا :

$\mathrm{\nabla }\cdot (f(r){\mathbf{Y}}_{lm})=(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r}+\frac{2}{r}f)Y_{lm}$

$\mathrm{\nabla }\cdot (f(r){\mathrm{\Psi }}_{lm})=-\frac{l(l+1)}{r}f{Y}_{lm}$

$\mathrm{\nabla }\cdot (f(r){\mathrm{\Phi }}_{lm})=0$

من خلال التركيب سنحصل على التفرق لأي حقل شعاعي كما يلي

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-l}^l(\frac{\mathrm{d}{E}_{lm}^r}{\mathrm{d}r}+\frac{2}{r}{E}_{lm}^r-\frac{l(l+1)}{r}{E}_{lm}^{(1)})Y_{lm}$

الدوران

$\mathrm{\nabla }\times (f(r){\mathbf{Y}}_{lm})=-\frac{1}{r}f{\mathrm{\Phi }}_{lm}$

$\mathrm{\nabla }\times (f(r){\mathrm{\Psi }}_{lm})=(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r}+\frac{1}{r}f){\mathrm{\Phi }}_{lm}$

$\mathrm{\nabla }\times (f(r){\mathrm{\Phi }}_{lm})=-\frac{l(l+1)}{r}f{\mathbf{Y}}_{lm}-(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r}+\frac{1}{r}f){\mathrm{\Psi }}_{lm}$

أمثلة

الشعاع التوافقي الكروي الأول

• $l=0$

• ${\mathbf{Y}}_{00}=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}\hat{\mathbf{r}}$

• ${\mathrm{\Psi }}_{00}=\mathbf{0}$

• ${\mathrm{\Phi }}_{00}=\mathbf{0}$

• $l=1$

• ${\mathbf{Y}}_{10}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \theta \hat{\mathbf{r}}$
• ${\mathbf{Y}}_{11}=-\sqrt{\frac{3}{8\pi }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }\sin \theta \hat{\mathbf{r}}$

• ${\mathrm{\Psi }}_{10}=-\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \theta \hat{\mathit{\theta }}$
• ${\mathrm{\Psi }}_{11}=-\sqrt{\frac{3}{8\pi }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }(\cos \theta \hat{\mathit{\theta }}+\mathrm{i}\hat{\mathit{\phi }})$

• ${\mathrm{\Phi }}_{10}=-\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \theta \hat{\mathit{\phi }}$
• ${\mathrm{\Phi }}_{11}=\sqrt{\frac{3}{8\pi }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }(\mathrm{i}\hat{\mathit{\theta }}-\cos \theta \hat{\mathit{\phi }})$

• $l=2$

• ${\mathbf{Y}}_{20}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi }}(3{\cos }^2\theta -1)\hat{\mathbf{r}}$
• ${\mathbf{Y}}_{21}=-\sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \theta \cos \theta e^{i\phi }\hat{\mathbf{r}}$
• ${\mathbf{Y}}_{22}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}{\sin }^2\theta e^{2i\phi }\hat{\mathbf{r}}$

• ${\mathrm{\Psi }}_{20}=-\frac{3}{2}\sqrt{\frac{5}{\pi }}\sin \theta \cos \theta \hat{\mathit{\theta }}$
• ${\mathrm{\Psi }}_{21}=-\sqrt{\frac{15}{8\pi }}{e}^{i\phi }(\cos 2\theta \hat{\mathit{\theta }}+\mathrm{i}\cos \theta \hat{\mathit{\phi }})$
• ${\mathrm{\Psi }}_{22}=\sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \theta e^{2i\phi }(\cos \theta \hat{\mathit{\theta }}+\mathrm{i}\hat{\mathit{\phi }})$

• ${\mathrm{\Phi }}_{20}=-\frac{3}{2}\sqrt{\frac{5}{\pi }}\sin \theta \cos \theta \hat{\mathit{\varphi }}$
• ${\mathrm{\Phi }}_{21}=\sqrt{\frac{15}{8\pi }}{e}^{i\phi }(\mathrm{i}\cos \theta \hat{\mathit{\theta }}-\cos 2\theta \hat{\mathit{\phi }})$
• ${\mathrm{\Phi }}_{22}=\sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \theta e^{2i\phi }(-\mathrm{i}\hat{\mathit{\theta }}+\cos \theta \hat{\mathit{\phi }})$

مراجع

روابط خارجية

• Vector Spherical Harmonics at Eric Weisstein's Mathworld