دالة مميزة (نظرية احتمالات)

في نظرية الاحتمال والإحصاء، الدالة المميزة لمتغير عشوائي X حقيقي هي دالة ذات قيم مركبة معرفة على المجال R حيث:

The characteristic function of a uniform U(–1,1) random variable. This function is real-valued because it corresponds to a random variable that is symmetric around the origin; however in general case characteristic functions may be complex-valued.

φX(t)=E[eitX]=E[cos(tX)]+iE[sin(tX)].

في حالة وجود دالة كثافة احتمالية للمتغير العشوائي X ، فإن الدالة المميزة في هذه الحالة هي معكوسة تحويل فورييه ( بمعامل تقريبي 2π ) لدالة الكثافة.[1] (في بعض الأحيان تستعمل هذه الدالة ϕX(t)=E[e2iπtX].)

بشكل أعم، الدالة المميزة لمتغير عشوائي حقيقي معرف على المجال Rd، هي الدالة ذات القيم المركبة المعرفة على المجال Rd بـ :


ϕX(u)=E[eiu,X] أين u,X هو الجداء القياسي لـ u مع X.

في حالة المتغير العشوائيX المنفصل، تعرف الدالة المميزة بـ :

G(z)=E[zX] باعتبار z عدد مركب، و نستخلص إذا :

ϕX(t)=G(eit); حيث أن الدالة G هي امتداد لـ ϕX

خصائص الدالة المميزة

بشكل أعم، إذا كان X1,,Xn مجموعة من المتغيرات العشوائية المستقلة عن بعضها البعض، فإن

ϕX1++Xn=ϕX1ϕXn

وبتطبيق معكوسة تحويل فورييه لـ ϕX+Y نتحصل على قانون دالة التوزيع الاحتمالي للدالة X+Y

  • توجد أيضا علاقة بين الدالة المميزة و دالة العزوم لمتغير عشوائي، ففي حالة وجود دالة العزوم بالإضافة إلى تقارب المتتالية فإن:
ϕX(t)=k=0ikμkk!tk أين μk هو عزم ذو درجة k .

تستعمل هذه العلاقة أحيانا لإيجاد المتوسط الحسابي (الذي يمثل العزم ذو درجة 1) والتباين (الذي يمثل العزم ذو درجة 2) حيث أن:

1=ϕX(0),E[X]=iϕX(0),E[X2]=ϕX(0)
Var(X)=ϕX(0)+ϕX2(0).

ϕaX+b(t)=ϕX(at)eitb

بعض الدوال المميزة المشهورة

التوزيع الاحتمالي الدالة المميزة φ(t)
توزيع احتمالي ثنائي B(n, p)   (1p+peit)n
توزيع بواسون Pois(λ)   eλ(eit1)
توزيع منتظم U(a, b)   eitbeitait(ba)
توزيع لابلاس L(μ, b)   eitμ1+b2t2
توزيع احتمالي طبيعي N(μ, σ2)   eitμ12σ2t2
توزيع كاي مريع χ2k   (12it)k/2
توزيع كوشي Cauchy(μ, θ)   eitμθ|t|
توزيع غاما Γ(k, θ)   (1itθ)k
توزيع أسي Exp(λ)   (1itλ1)1
توزيع طبيعي متعدد الحدود N(μ, Σ)   eitμ12tΣt

الجدول أعلاه مقتبس من الجدول الموسع للدوال المميزة لاورهيتينغر ( 1973 )

مراجع

  1. ^ Shaw، W. T.؛ McCabe، J. (2009). "Monte Carlo sampling given a Characteristic Function: Quantile Mechanics in Momentum Space". arXiv:0903.1592. {{استشهاد بأرخايف}}: الوسيط |arxiv= مطلوب (مساعدة)