دالة مميزة (نظرية احتمالات)

في نظرية الاحتمال والإحصاء، الدالة المميزة لمتغير عشوائي X حقيقي هي دالة ذات قيم مركبة معرفة على المجال $\mathbb{R}$ حيث:

The characteristic function of a uniform U(–1,1) random variable. This function is real-valued because it corresponds to a random variable that is symmetric around the origin; however in general case characteristic functions may be complex-valued.

$\begin{array}{rr}{\phi }_X(t)& =\mathbb{E}[e^{itX}]\\ & =\mathbb{E}[\cos (tX)]+i\mathbb{E}[\sin (tX)].\end{array}$

في حالة وجود دالة كثافة احتمالية للمتغير العشوائي X ، فإن الدالة المميزة في هذه الحالة هي معكوسة تحويل فورييه ( بمعامل تقريبي $2\pi$ ) لدالة الكثافة. (في بعض الأحيان تستعمل هذه الدالة ${\varphi }_X(t)=E[e^{2i\pi tX}].$)

بشكل أعم، الدالة المميزة لمتغير عشوائي حقيقي معرف على المجال ${\mathbb{R}}^d$، هي الدالة ذات القيم المركبة المعرفة على المجال ${\mathbb{R}}^d$ بـ :

${\varphi }_X(u)=\mathbb{E}[e^{i⟨u,X⟩}]$ أين $⟨u,X⟩$ هو الجداء القياسي لـ u مع X.

في حالة المتغير العشوائيX المنفصل، تعرف الدالة المميزة بـ :

$G(z)=\mathbb{E}[z^X]$ باعتبار z عدد مركب، و نستخلص إذا :

${\varphi }_X(t)=G(e^{it});$ حيث أن الدالة G هي امتداد لـ ${\varphi }_X$

خصائص الدالة المميزة

• تحدد الدالة المميزة طبيعة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي في حالة تساوي دالتين، يعني في حالة تساوي دالتين مميزتين ${\varphi }_X={\varphi }_Y$ نستنتج أن للمتغيران $X$ et $Y$ نفس دالة التوزيع الاحتمالي.
• إذا كان X و Y متغيران عشوائيان مستقلان، إذا ${\varphi }_{X+Y}={\varphi }_X{\varphi }_Y$.

بشكل أعم، إذا كان $X_1,\dots ,X_n$ مجموعة من المتغيرات العشوائية المستقلة عن بعضها البعض، فإن

${\varphi }_{X_1+\cdots +X_n}={\varphi }_{X_1}\cdots {\varphi }_{X_n}$

وبتطبيق معكوسة تحويل فورييه لـ ${\varphi }_{X+Y}$ نتحصل على قانون دالة التوزيع الاحتمالي للدالة X+Y

• توجد أيضا علاقة بين الدالة المميزة و دالة العزوم لمتغير عشوائي، ففي حالة وجود دالة العزوم بالإضافة إلى تقارب المتتالية فإن:

${\varphi }_X(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{i^k{\mu }_k}{k!}{t}^k$ أين ${\mu }_k$ هو عزم ذو درجة k .

تستعمل هذه العلاقة أحيانا لإيجاد المتوسط الحسابي (الذي يمثل العزم ذو درجة 1) والتباين (الذي يمثل العزم ذو درجة 2) حيث أن:

$1={\varphi }_X(0),\mathbb{E}[X]=-i\underset{X}{\overset{\prime }{\varphi }}(0),\mathbb{E}[X^2]=-\underset{X}{\overset{\prime \prime }{\varphi }}(0)$

$\text{Var}(X)=-\underset{X}{\overset{\prime \prime }{\varphi }}(0)+\underset{X}{\overset{\prime 2}{\varphi }}(0)$.

• مثلا العلاقة التالية تستعمل في حساب الدالة المميزة لمتغير عشوائي ذو توزيع احتمالي طبيعي موسط ومخزل :

${\varphi }_{aX+b}(t)={\varphi }_X(at)e^{itb}$

بعض الدوال المميزة المشهورة

التوزيع الاحتمالي	الدالة المميزة φ(t)
توزيع احتمالي ثنائي B(n, p)	$(1-p+p{e}^{it}{)}^n$
توزيع بواسون Pois(λ)	$e^{\lambda (e^{it}-1)}$
توزيع منتظم U(a, b)	$\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}$
توزيع لابلاس L(μ, b)	$\frac{e^{it\mu }}{1+b^2{t}^2}$
توزيع احتمالي طبيعي N(μ, σ2)	$e^{it\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2{t}^2}$
توزيع كاي مريع χ2k	$(1-2it{)}^{-k/2}$
توزيع كوشي Cauchy(μ, θ)	$e^{it\mu -\theta \left|t\right|}$
توزيع غاما Γ(k, θ)	$(1-it\theta {)}^{-k}$
توزيع أسي Exp(λ)	$(1-it{\lambda }^{-1}{)}^{-1}$
توزيع طبيعي متعدد الحدود N(μ, Σ)	$e^{i{t}^{\prime }\mu -\frac{1}{2}{t}^{\prime }\mathrm{\Sigma }t}$

الجدول أعلاه مقتبس من الجدول الموسع للدوال المميزة لاورهيتينغر ( 1973 )