قاطع التمام

  لمعانٍ أخرى، طالع قاطع (توضيح).

في علم المثلثات والتحليل الرياضي، دالة قاطع تمام زاوية (بالإنجليزية: Cosecant of an angle)‏ هي إحدى الدوال المثلثية التي تتبع قيمة زاوية ويرمز لها بـ: $\csc (x)$ أو $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}(x)$، ويمثل قاطع التمام مقلوب قيمة الجيب أي $\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}x=\frac{1}{\sin x}$. أي أنه إذا كانت لدينا زاوية ضمن مثلث قائم فإن قاطع تمام هذه الزاوية يساوي نسبة طول الوتر إلى الضلع المقابل للزاوية.

قاطع التمام
تمثيل دالة قاطع التمام في جملة الإحداثيات الديكارتيّة
تدوين	$\csc (x)$
تعريف الدالة	$\csc (x)=\frac{1}{\sin (x)}$
دالة عكسية	$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}(x)$
مشتق الدالة	$$\frac{-\cos x}{{\sin }^{2}x}=-\csc x\cdot \cot x$$
مشتق عكسي (تكامل)	$\begin{array}{r}-\ln |\csc (x)+\cot (x)|\\ =\ln \left|\tan (\frac{x}{2})\right|\end{array}$
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟	فردية
مجال الدالة	$\mathbb{R}-\{k\pi \}$
المجال المقابل	$]-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,+\mathrm{\infty }[$
دورة الدالة	2π
قيم محددة
القيمة/النهاية عند $\frac{\pi }{2}$	1
القيمة/النهاية عند 2kπ	على اليمين: +∞ على اليسار: -∞
القيمة/النهاية عند $\pi +2k\pi$	على اليمين: -∞ على اليسار: +∞
خطوط مقاربة	$x=k\pi$
نقاط حرجة	$\frac{\pi }{2}+k\pi$
ملاحظات	$k\in \mathbb{Z}$

إن قاطع التمام هو دالة مثلثية فرعية نسبية إلى كون الدوال الرئيسية المعروفة هي الجيب وجيب التمام والظل.

يمكن التعبير عن قاطع تمام زاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة متسلسلة لوران التالية:

$\begin{array}{rr}\csc x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!}\\ & =x^{-1}+\frac{1}{6}x+\frac{7}{360}{x}^3+\frac{31}{15120}{x}^5+\cdots ,\text{for }0<\left|x\right|<\pi .\end{array}$

حيث $B_n$ هو عدد بيرنولي.

مشتق الدالة

مشتق الدالة هو: $$\frac{d}{dx}\csc x=\frac{d}{dx}\frac{1}{\sin x}=\frac{-\cos x}{{\sin }^{2}x}=\frac{-1}{\sin x}\cdot \frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x}{\sin x}=-\csc x\cdot \cot x.$$

تكامل

تكامل الدالة لها أربعة أشكال متكافئة:

$\int \csc xdx=\{\begin{array}{c}\ln \left|\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }\right|+C\\ [15pt]\ln \left|\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }\right|+C\\ [15pt]\ln |\csc \theta -\cot \theta |+C\\ [15pt]\ln \left|\tan (\frac{x}{2})\right|+C\\ [15pt]\end{array}\}\text{ (equivalent forms)}$

انظر أيضا

• قاطع الزاوية
• ظل التمام
• جيب التمام
• جيب الزاوية
• ظل الزاوية
• القاطع الخارجي