متباينة المجموع لتشيبيشيف

في الرياضيات، متراجحة المجموع لتشيبيشيف (بالإنجليزية: Chebyshev's sum inequality)‏ المسماة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشيف، تنص على ما يلي: إذا توفر

a_{1} \geq a_{2} \geq \dots \geq a_{n}

و

b_{1} \geq b_{2} \geq \dots \geq b_{n},

فإن

\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} \geq (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k}) (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} b_{k}) .

وبشكل مشابه، إذا توفر

a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq a_{n}

و

b_{1} \geq b_{2} \geq \dots \geq b_{n},

فإن

\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} \leq (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k}) (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} b_{k}) .

^[1]

البرهان

ليكن المجموع التالي

S = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} (a_{j} - a_{k}) (b_{j} - b_{k}) .

The two sequences are non-increasing, therefore $a j - a k$ and $b j - b k$ have the same sign for any $j, k$ . Hence $S \geq 0$ .

Opening the brackets, we deduce:

0 \leq 2 n \sum_{j = 1}^{n} a_{j} b_{j} - 2 \sum_{j = 1}^{n} a_{j} \sum_{k = 1}^{n} b_{k},

whence

\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{j} b_{j} \geq (\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{j}) (\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} b_{k}) .

An alternative proof is simply obtained with the rearrangement inequality.

الصيغة المتصلة

هناك أيضا صيغة متصلة لمتراجحة المجموع لتشيبيشيف.

إذا كانت f وg دالتين ذات قيم حقيقية وقابلتين للتكامل على المجال [0,1], كلاهما تنازلي، أو كلاهما تصاعدي، فإن:

\int_{0}^{1} f (x) g (x) d x \geq \int_{0}^{1} f (x) d x \int_{0}^{1} g (x) d x,

with the inequality reversed if one is non-increasing and the other is non-decreasing.

مراجع

^ Hardy، G. H.؛ Littlewood، J. E.؛ Pólya، G. (1988). Inequalities. Cambridge Mathematical Library. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN:0-521-35880-9. MR:0944909.

[1] Hardy، G. H.؛ Littlewood، J. E.؛ Pólya، G. (1988). Inequalities. Cambridge Mathematical Library. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN:0-521-35880-9. MR:0944909.

[1]