اختبارات تقارب متسلسلة

في التحليل الرياضي، نستخدم معايير التقارب للتحقق من تقارب سلسلة لامنتهية معطاة.

لتكن السلسلة $S$ المكونة من مجموع حدود المتتالية $\{a_1,a_2,a_3,\dots \}$

$S=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=a_1+a_2+a_3+\dots$

نعرف $S_N$ على انها سلسلة جزئية من $S$، حيث نكتفي بمجموع أول عدد N من الحدود

$S_N=\sum _{n=1}^N{a}_n=a_1+a_2+a_3+\dots +a_N$

نقول عن سلسلة بأنها متقاربة إذا تقاربت المتتالية المكونة من السلاسل الجزئية $\{S_1,S_2,S_3,\dots \}$.

هناك عدة معايير لتحديد ما إذا كانت السلسلة متقاربة أم متباعدة

معيار المقارنة

نقارن حدود المتتالية $\{a_n\}$ بمتتالية أخرى $\{b_n\}$ بحيث من أجل أي n،

إذا كان $0\le a_n\le b_n$، وكانت السلسلة $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ هي سلسلة متقاربة، فان$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ متقاربة حتماً.

أما إذا كان$0\le b_n\le a_n$ وكانت السلسلة $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ هي سلسلة متباعدة، فان السلسلة $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ هي سلسلة متباعدة حتماً.

معيار دالامبير

من أجل كل القيم الموجبة لـ n وa_n، يوجد عدد L بحيث

$L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$

• إذا كان $L<1$ فالسلسلة متقاربة.
• إذا كان L>1 فالسلسة متباعدة.
• في حال كان L=1 فعندها يكون المعيار غير ذي جدوى. ويمكن استخدام معيار رابي Raabe.

معيار رابي

عندما $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$

وإذا وجد عدد$c>0$ بحيث

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-1)=-1-c$ فعندها نقول أن السلسلة مطلقة التقارب.

معيار كوشي الجذري

نبحث عن قيمة النهاية $k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}$

• إذا كان $k<1$ فالسلسلة متقاربة.
• إذا كان $k>1$ فالسلسلة متباعدة.
• أما في حال $k=1$ فنقول أن المعيار غير دي جدوى.