هذه المقالة يتيمة. ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالة متعلقة بها

نموذج صلب خطي معياري

من أرابيكا، الموسوعة الحرة

هذه هي النسخة الحالية من هذه الصفحة، وقام بتعديلها عبود السكاف (نقاش | مساهمات) في 01:35، 20 يونيو 2023 (بوت:إضافة بوابة (بوابة:تقانة,بوابة:الكيمياء)). العنوان الحالي (URL) هو وصلة دائمة لهذه النسخة.

(فرق) → نسخة أقدم | نسخة حالية (فرق) | نسخة أحدث ← (فرق)
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

النموذج الصلب الخطي المعياري (بالإنجليزية: Standard Linear Solid model)‏ والمعروف بنموذج زينر، وهو طريقة لنمذجة سلوك المواد المرونية اللزوجية باستخدام دمج خطي للنابض تعبر باستخدام المخمد (Dashpot) للتعبير عن مركبة اللزوجة و النابض للتعبير عن المرونة. وهو شبيه بنموذج مواد كلفن فويغت ونموذج مواد ماكسويل, واللذان لا يؤمنان التمثيل الكافي للمواد الحقيقية. فنموذج ماكسويل لا يصف الزحف، ونموذج كلفن فويغت لا يصف استرخاء الإجهاد. النموذج الصلب الخطي المعياري هو أبسط نموذج يصف كلا الظاهرتين.

تعريف النموذج

إن المواد التي تتعرض للإجهاد يتم تمثيلها عادة بمكونات ميكانيكية، مثل النوابض والمخمد. بوصل النابض والمخمد على التسلسل يعطي نموذج مواد ماكسويل بينما وصل النابض والمخمد على التوازي يعطينا نموذج نموذج مواد كلفن فويغت.[1] وعلى عكس من نموذج ماكسويل ونموذج كلفن فويغت، فإن النموذج الصلب الخطي المعياري أكثر تعقيدا، ويتضمن عناصر مرتبطة على التسلسل وعلى التوازي. النوابض التي تمثل العناصر المرنة من المواد المرنة اللزجة تخضع لقانون هوك:

σS=E*ϵS

حيث σ الإجهاد المطبق، وE معامل يونغ للمادة، و ε الانفعال. يمثل النابض الجزء المرن من استجابة النموذج.[1] يمثل المخمد الجزء المرن اللزج من المادة. يتفاوت الإجهاد المطبق في هذه الأجزاء مع المعدل الزمني لتغير الإجهاد:

σD=η*dϵDdt

حيث أن η لزوجة المخمد.

هذه العناصر موصولة كما في الصورة جانبا:

نموذج صلب خطي معياري

يتألف هذا النموذج من جملتين موصولتين على التوازي. أول جملة، تسمى ذراع ماكسويل، تحتوي نابض (E=E2) ومخمد (لزوجته η) موصولة على التسلسل.[1] تحتوي الجملة الأخرى على نابض فقط (E=E1).

حل المعادلة

من أجل نمذجة هذه الجملة، يجب أن تتحقق العلاقات الفيزيائية التالية:

من أجل الأجزاء الموصولة على التوازي: σtot=σ1+σ2، و εtot=ε1=ε2.[1]

من أجل الأجزاء الموصولة على التسلسل: σtot=σ1=σ2 , and εtot=ε1+ε2.[1]

هذه العلاقات تساعد في ربط الإجهادات والانفعالات المختلفة في الجملة ككل وذراع ماكسويل

σtot=σm+σs1

εtot=εm=εs1

σm=σD=σs2

εm=εD+εs2

حيث تشير اللاحقات السفلية M، وD، وS1، وS2. إلى ماكسويل، والمخمد، والنابضين.

باستخدام هذه العلاقات، ومشتقاتها بالنسبة للزمن، والعلاقات السابقة للإجهاد- انفعال للنابض و المخمد، يمكن نمذجة الجملة كالآتي:

dεdt=E2η(ηE2dσdt+σE1ε)E1+E2 [2]

زمن الاسترخاء، τ، مختلف لكل مادة ويساوي:

ηE2=τ
dϵStotaldt=dϵDdt+dϵS2dt
E2*dϵStotaldt=E2*dϵDdt+E2*dϵS2dt

اشتقاق قانون هوك للزنبرك بالنسبة للوقت:

σS2=E2*ϵS2
dσS2dt=E2*dϵS2dt

تحويل قانون النبيطة:

σD=η*dϵDdt
dϵDdt=1η*σD

تعويض المعادلتين في المعادلة الأولى تصبح:

E2*dϵStotaldt=dσS2dt+E2η*σD
E2*dϵStotaldt=dσStotaldt+E2η*σStotal
dσStotaldt=E2*dϵStotaldtE2η*σStotal

اشتقاق معادلة الإجهاد للمكونات المتوازية بالنسبة للوقت:

σTotal=σStotal+σS1
dσTotaldt=dσStotaldt+dσS1dt
dσTotaldt=E2*dϵStotaldtE2η*σStotal+dσS1dt
σStotal=σTotalσS1
dσTotaldt=E2*dϵTotaldtE2η*(σTotalσS1)+dσS1dt
dσTotaldt=E2*dϵTotaldtE2η*σTotal+E2η*σS1+dσS1dt
σS1=E1*ϵS1
dσTotaldt=E2*dϵTotaldtE2η*σTotal+E1*E2η*ϵS1+E1*dϵS1dt
dσTotaldt+E2η*σTotal=E2*dϵTotaldt+E1*E2η*ϵS1+E1*dϵS1dt
σTotal=σ
ϵS1=ϵTotal=ϵ

فتصبح المعادلة:

dσdt+E2η*σ=(E1+E2)*dϵdt+E1*E2η*ϵ

أو بأسلوب النقطة:

σ˙+E2η*σ=(E1+E2)*ϵ˙+E1*E2η*ϵ

اقرأ أيضا

مصادر

  1. ^ أ ب ت ث ج David Roylance, "Engineering Viscoelasticity" (October 24, 2001) http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Materials-Science-and-Engineering/3-11Mechanics-of-MaterialsFall1999/038732E6-CF1E-4BD0-A22E-39123ADD3337/0/visco.pdf نسخة محفوظة 2010-06-02 على موقع واي باك مشين.
  2. ^ Krystyn J. Van Vliet, MIT course 3.032 Lecture, October 23, 2006 http://stellar.mit.edu/S/course/3/fa06/3.032/index.html نسخة محفوظة 2023-05-08 على موقع واي باك مشين.