مبرهنة ستيوارت

من أرابيكا، الموسوعة الحرة

هذه هي النسخة الحالية من هذه الصفحة، وقام بتعديلها عبود السكاف (نقاش | مساهمات) في 02:09، 12 ديسمبر 2022 (بوت: إصلاح التحويلات). العنوان الحالي (URL) هو وصلة دائمة لهذه النسخة.

(فرق) → نسخة أقدم | نسخة حالية (فرق) | نسخة أحدث ← (فرق)
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
مبرهنة ستيوارت

في الهندسة الرياضية، تظهر مبرهنة ستيوارت العلاقة بين أطوال أضلاع مثلث وطول القطعة المستقيمة الواصلة بين رأس من رؤوسه والضلع المقابل لهذا الرأس.[1]

إذا كانت a, b, c أضلاع مثلث ِABC، وكانت p قطعة مستقيمة من الرأس A إلى نقطة تقسم الضلع a إلى y و x عندها تعطى المبرهنة بالشكل التالي:

b2x+c2y=a(p2+xy)

البرهان

بتطبيق قانون جيب التمام نجد أن:

b2=p2+y22pycosθ

و c2=p2+x22pxcos(180θ)

بضرب المعادلة الأولى بـ x و المعادلة الثانية بـ y ينتج أن:

b2x=p2x+y2x2pxycosθ

c2y=p2y+x2y2pxycos(180θ)

من خواص دالة الجيب التمام أن: cosα=cos(πα)

cosθ=cos(180θ)2pxycosθ=+2pxycos(180θ)

و لهذا السبب عند جمع المعادلتين سيختفي 2pxycosθ,2pxycos(180θ) وسيبقى:

b2x+c2y=p2x+p2y+y2x+x2y
b2x+c2y=p2(x+y)+xy(y+x)

x+y=a

b2x+c2y=p2a+xya=a(p2+xy)

و هو المطلوب.

اقرأ أيضاً

مراجع

  1. ^ "معلومات عن مبرهنة ستيوارت على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2019-11-06.