دائرة: الفرق بين النسختين

في [[هندسة رياضية|الهَندسِةِ الرّياضِيّةِ]]، '''الدَّائرَة''' هي [[شكل|شكلٌ هَندَسيٌّ]] مُستوٍ، تُعرَّفُ على أنّها [[محل هندسي|المحلُّ الهندسيُّ]] [[نقطة (هندسة)|لنقاطِ]] تقع على [[مستو (رياضيات)|سطح مُستوٍ]] وتَبعدُ [[مسافة|بُعداً]] ثابتاً من نقطةٍ ما.<ref group="ملاحظة">في بعض الكُتب يُذكر هذا التّعريف نفسه، مع تقليل المصطلحات لمراعاة المرحلة الدّراسية التي يستهدفها الكتاب. كالتعريف الآتي على سبيل المثال: "'''الدائرة''': هي مجموعة نّقاط على مستوى تبعد البعد ذاته من نقطة ثابتة ما، هي مركز الدّائرة". هذا المحل الهندسي من النّقاط هو مجموعة غير منتهية.</ref><ref name=":2" group="ِ">{{استشهاد بكتاب|مسار= https://books.google.com.sa/books?id=-PijDgAAQBAJ&dq=الدائرة+في+الهندسة|عنوان=الهندسة التحليلية|تاريخ=2009-01-01|ناشر=المنهل|ISBN=9796500139289|الأخير=أديب|الأول=عادل نسيم|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200312045429/https://books.google.com.sa/books?id=-PijDgAAQBAJ&dq=الدائرة+في+الهندسة|تاريخ أرشيف=2020-03-12|محرر1=|لغة=العربية|مكان=|بواسطة=|عمل=}}</ref><ref name=":34" group="ِ"/><ref name=":53" group="ِ">{{استشهاد بكتاب|مسار=https://www.neelwafurat.com/itempage.aspx?id=lbb231507-210332&search=books|عنوان=رياضيَّات الأولمبياد، الهندسة، الجزء الأول|تاريخ=1434هـ|موقع=الرياض|ناشر=دار الخريجي للنشر والتوزيع|مكان=|تاريخ الوصول=21 سبتمبر، 2018م|الأخير=صابر|الأول=طارق|بواسطة=|الأول2=دورين|الأخير2=أندريكا|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20191218230405/http://www.neelwafurat.com/itempage.aspx?id=lbb231507-210332&search=books|تاريخ أرشيف=2019-12-18}}</ref> تُسمَّى هَذه المجمُوعةُ غَيرُ المُنتَهيةِ من النقاطِ [[محيط منحنى مغلق|مُحيط]] الدائرةِ أو «المُحيطُ» اختصاراً. بينما النُّقطةُ الثابتةُ تُسمَّى [[مركز (هندسة رياضية)|مركزَ]] الدائرةِ. وأخيراً، تُسمّى المَسافةُ من أيِّ نُقطَةٍ على المُحيطِ إلى المركزِ [[نصف القطر|نصفَ قُطْرِ]] أو شعاعاً، و[[قطر (هندسة)|القطرُ]] هو [[قطعة مستقيمة|قِطعةٌ مُستقيمةٌ]] تمرُ بمركز الدائرة وتصل بين نقطتين على المحيط. تُصنُّفُ الدائرةُ على أنَّها [[قطع ناقص|قطعٌ ناقصٌ]] تلاشت [[بؤرة (هندسة رياضية)|بؤرتاهُ]] في نُقطةٍ واحدة أو [[قطع مخروطي]] مُنعدِمُ [[اختلاف مركزي|الاختلافِ المركزيّ]]؛ وعلى ذلك، فإنَّ الدائرةَ قطعٌ مخروطيٌّ ينتج عن تقاطع [[مخروط|المخروط]] مع مستوىً [[تواز (هندسة)|مُوازٍ]] لقاعدتهِ. كما عُرِّفتِ الدائرةُ بوصفها [[مضلع منتظم|مُضلَّعاً مُنتظماً]] [[مضلع لانهائي|لانهائي الأضلاع]].<ref name=":0" group="ِ"/><ref name=":2"/><ref>{{استشهاد ويب

يرتبط الشّعاع مع القطر بالعلاقة <math>r = \frac{d}{2}</math>. يُعتبر القطر حالةً خاصةً من الوتر<ref group="ملاحظة">القطر هو حالة خاصّة من الوتر، حيث ينطبق عليه نفس تعريف الوتر ويُمكن القول بإنّ القطر هو أطول وتر ممكن في الدّائرة. يُرمز للقطر بـ"ق" أو "2 نق" حيث أن طوله ضعف طول الشّعاع.</ref> يقسم فيها الدائرة إلى جزئين متناظرين ومتطابقين. ويُوصف أيضاً على أنه أطول قطعة مستقيمة بين أي نقطتين تقعان على محيط الدائرة.<ref name=":34" group="ِ">{{استشهاد بكتاب|مسار=https://books.google.com.sa/books?id=ZwEfDgAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=رياضيات+الأولمبياد:+الهندسة&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwiUraaY_o_WAhXHxxQKHW_nCb8Q6AEIJjAA#v=onepage&q=رياضيات%20الأولمبياد:%20الهندسة&f=false|الأول=معروف|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20200307083721/https://books.google.com.sa/books?id=ZwEfDgAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=رياضيات+الأولمبياد:+الهندسة&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwiUraaY_o_WAhXHxxQKHW_nCb8Q6AEIJjAA#v=onepage&q=رياضيات%20الأولمبياد:%20الهندسة&f=false|بواسطة=|الأخير3=توبان|الأول3=ليانا|الأخير2=التويجري|الأول2=نجلاء|الأخير=سمحان|عنوان=رياضيات الأولمبياد - مرحلة الإعداد: الهندسة|تاريخ الوصول=6 سبتمبر، 2017م.|مكان=الرياض|إصدار=الأولى|ISBN=978-603-503-866-9|ناشر=العبيكان للنشر|موقع=|تاريخ=1437هـ/2016م|تاريخ أرشيف=2020-03-07}}</ref><ref name=":12" group="ِ">{{استشهاد ويب

|+حالات الزاوية المحيطية بالنسبة لضلعي الزاوية المركزية<ref name=":0">{{استشهاد بكتاب|عنوان=A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry|تاريخ=|ناشر=|مؤلف1=Stefan Lozanovski|مؤلف2=|محرر1=|لغة=الإنجليزية|مكان=|الأول=|بواسطة=|عمل=|مسار= https://www.olympiadgeometry.com|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190822192755/https://www.olympiadgeometry.com/|تاريخ أرشيف=2019-08-22}}</ref><ref name=":53" group="ِ"/><ref name=":12"/><ref name=":8"/><ref name=":3" group="ِ">{{استشهاد بكتاب|عنوان=المرجع في أولمبياد الرياضيات|تاريخ=|ناشر=مطابع الحميضي|مؤلف1=سعيد سعد الفهمي الزهراني|مؤلف2=|محرر1=|لغة=العربية|مكان=|الأول=|بواسطة=|عمل=|ISBN=9786030112494|سنة=2013}}</ref>

في [[نظرية الزمر]]، الدائرة هي أكثرُ الأشكالِ تناظراً. أيُّ مُستقيمٍ مُنصِّفٍ (خطٍّ مُستقيمٍ يمرُ بمركزِ الدائرةِ) يُحَقِّقُ خاصيةَ [[تناظر انعكاسي|التناظر الانعكاسي]] وخاصيةَ [[تناظر دوراني|التناظر الدوراني]]. [[زمرة التناظر|زُمرة تماثل]] الدائرة هي [[زمرة متعامدة|زمرةٌ متعامدةٌ]] <math>O(2,R)</math>. زمرة الاستدارات الخاصة بالدائرة تُسمى [[زمرة الدائرة]] (<math>\mathbb T</math>) وتُعرّف على أنها زمرة ضربية تحتوي على جميع الأعداد المركبة التي معيارها مساوٍ لـ1.<ref>{{استشهاد بكتاب|الأخير=James|الأول=Robert C.|الأخير2=James|الأول2=Glenn|سنة=1992|عنوان=Mathematics Dictionary|إصدار=Fifth|ناشر=Chapman & Hall|صفحة=436|مسار=https://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC&lpg=PA436&dq="unit%20complex%20number"&pg=PA436#v=onepage&q="unit%20complex%20number"&f=false|اقتباس=| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191231105017/https://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC | تاريخ أرشيف = 31 ديسمبر 2019}}</ref>

يمكنُ تعريفِ [[دوال مثلثية|الدوالِ المثلثيةِ]]: [[جيب (رياضيات)|الجيب]] و[[جيب التمام]] [[ظل (حساب المثلثات)|والظل]] ومقلوباتها، بقيمِ إحداثياتِ النقاطِ على المستوى الإقليدي المرتبطةِ [[دائرة وحدة|'''بدائرة الوحدة''']].<ref group="ملاحظة">ويطلق عليها أيضاً اسمَ '''الدائرة المثلثية'''</ref> دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها وحدةٌ واحدةٌ ومركزها نقطة الأصل. رغم أن [[دوال مثلثية#التعريف باستعمال المثلث قائم الزاوية|تعريفات المثلثِ قائمِ الزاوية]] للدول المثلثية تسمحُ بتعريفِها للزوايا بينَ {{تعبير رياضي|0}} و<math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> [[راديان]] فقط، إلا أنَّ تعريفاتِ دائرةِ الوِحدةِ تُعمّمُ ذلك وتمدد مجال الدوال المثلثية لتسمحَ بجميع الأعداد الحقيقية الموجبةِ والسالبةِ.<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Trigonometry|تاريخ=|ناشر=|مؤلف1=Coxford, Arthur|مؤلف2=|محرر1=|لغة=|مكان=|الأول=|بواسطة=|عمل=|صفحات=8-12|مسار= https://archive.org/details/trigonometry00coxf|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191121023841/https://archive.org/details/trigonometry00coxf|تاريخ أرشيف=2019-11-21}}</ref><ref>{{استشهاد ويب

يتطابقُ هذا التعريفُ مع تعريفِ المثلث قائم الزاوية في [[مجال فاصل (رياضيات)|الفترة]] <math>(0, \frac{\pi}{2})</math> باعتبار أنَّ نصفَ قطرِ دائرة الوحدة <math>OA = r</math> هو [[وتر (مثلث)|وترٌ للمثلث القائم]]. ولأنّ كل نقطة <math>P = (x_0,y_0)</math> على دائرة الوحدة تُحقّق أنَّ <math>x^2+y^2=1</math> من مبرهنة فيثاغورس في المثلث القائم <math>\triangle OCA</math>. فإنَّ تعريف الدوال المثلثية على أنها الإحداثيات <math>x, y</math> يُنتِجُ [[متطابقة فيثاغورس المثلثية|متطابقة فيثاغورس]]: <math>\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>.<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Trigonometry|تاريخ=|ناشر=|مؤلف1=Coxford, Arthur|مؤلف2=|محرر1=|لغة=|مكان=|الأول=|بواسطة=|عمل=|صفحة=125|مسار= https://archive.org/details/trigonometry00coxf|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191121023841/https://archive.org/details/trigonometry00coxf|تاريخ أرشيف=2019-11-21}}</ref><ref name=":52">{{استشهاد ويب

عُرفت مسألة [[مضاعفة المكعب]] في العديد من الأجناس كالمصريين، الإغريق، والهنود.<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|الأخير1=Guilbeau|الأول1=Lucye|سنة=1930|عنوان=The History of the Solution of the Cubic Equation|مسار=|صحيفة=Mathematics News Letter|المجلد=5|العدد=4|صفحات=8–12|doi=10.2307/3027812|jstor=3027812}}</ref><ref>It shows up in Plato's ''[[الجمهورية (أفلاطون)|الجمهورية]]'' ({{حوالي|380 BC}}) VII.530</ref> تتمثل المسألة في تحويل أي [[مكعب|مُكعّبٍ]] مُعطى إلى مُكعّب ذي ضعف الحجم. رياضياً، من المكعب ذي طولِ الضلع<math>s</math> والحجم <math>V</math>، المطلوب إنشاء مكعب جديد بحجم <math>2V</math>. أي أنَّ طول ضلع المكعب الجديد <math>s\cdot\sqrt[3]{2}</math>. أثبت استحالة عمل ذلك [[إنشاء بمسطرة وفرجار|بإنشاءات الفرجار والمسطرة]] بعد إثبات استحالة وجود ضلع طوله <math>\sqrt[3]{2}</math> بالمسطرة والفرجار.<ref>Lucye Guilbeau (1930). "The History of the Solution of the Cubic Equation", ''Mathematics News Letter'' '''5''' (4), p. 8-12.</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|الأخير1=Stewart|الأول1=Ian|عنوان=Galois Theory|صفحة=75}}</ref>