عرض مصدر وفق

[[ملف:16th century arabic magic square.jpg|تصغير|مربع سحري ب[[اللغة الفارسية|الفارسية]] يرجع للقرن السادس عشر الميلادي - من [[دار الكتب والوثائق القومية (مصر)|دار الوثائق القومية المصرية]].]]
في [[رياضيات مسلية|الرياضيات المسلية]]، '''الوَفْقُ'''<ref name="وفق">كتاب [[ديوان العدد الوفق]]، لمؤلف مجهول. ([https://www.qdl.qa/العربية/archive/81055/vdc_100040730535.0x000002 مخطوطة] على موقع مكتبة قطر الوطنية) {{ولم|11|ديسمبر|2021}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211212012016/https://www.qdl.qa/العربية/archive/81055/vdc_100040730535.0x000002 |date=12 ديسمبر 2021}}</ref><ref name="طب">{{en}} تعريف Magic square على موقع فهرس مخطوطات الطب الإسلامي في المكتبة الوطنية لعلم الطب، حيث تظهر كلمة wafq وَفْق كترجمة للكلمة. {{ولم|11|ديسمبر|2021}}</ref> أو '''المربع السحري''' هي [[مصفوفة (توضيح)|مصفوفة]] مربعة ذات حيز <math>(n)</math>، مكونة من <math>n^2</math> [[عدد صحيح|أعداد صحيحة]]، بحيث أن حاصل جمع <math>(n)</math> رقم في كلّ من الصفوف والأعمدة و[[قطر رئيسي|الأقطار الرئيسية]] يأدي لنفس الحاصل.<ref>[http://demonstrations.wolfram.com/MagicSquare/ Magic Square]" by Onkar Singh [http://mathworld.wolfram.com/ Wolfram MathWorld]. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170628174252/http://demonstrations.wolfram.com/MagicSquare/ |date=28 يونيو 2017}}</ref>
توجد مربعات سحرية مهما كان الحيز <math>n\ge1</math>، بإقصاء <math>n=2</math> (أربع أعداد)، مع كون الحالة <math>n=1</math> تعتبر أمرا بديهيا. يبين الشكل التالي مثالا لمربع سحري من <math>n=3</math>
<div style="text-align: center;">[[ملف:Magicsquareexample.svg]]</div>
لاحظ أن مجموع كل سطر وعمود وقطر رئيسي يساوي دائما 15. يسمى هذا المجموع [[ثابت سحري|ثابتا سحريا]] <math>(M)</math> وقيمته بصفة عامة:
:<math>M(n) = \frac{n(n^2+1)}{2}</math>

قيم الثوابت السحرية لمربعات سحرية عادية ذات حيز <math>n=5,4,3,\ldots</math> هي [[متتالية]]:
<math>15,34,65,\ldots</math> ([https://web.archive.org/web/20090208020034/http://research.att.com/~njas/sequences/A006003 البقية]<ref name="OEIS">[https://about.att.com/error.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20101011132753/http://www.research.att.com/~njas/sequences/Seis.html |date=11 أكتوبر 2010}}</ref>).

== بناء المربعات السحرية ==
هناك العديد من الطرق القديمة والحديثة لبناء مربعات سحرية.<ref>
[http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1337 Magic Squares] by Del Hawley [http://nrich.maths.org/public/index.php NRICH] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120703164540/http://nrich.maths.org/public/index.php |date=03 يوليو 2012}}</ref> يمكن تصنيف المربع السحري إلى ثلاثة أنواع رئيسية:
* مربع سحري ذو رتبة فردية ''n''.
* مربع سحري ذو رتبة زوجية مفردة ''n'' (أي ان = ''n''/2 [[أعداد زوجية وفردية|عدد فردي]]).
* مربع سحري ذو رتبة زوجية مضاعفة ''n'' (أي ان = ''n''/2 [[أعداد زوجية وفردية|عدد زوجي]]).

=== طرق إنشاء مربعات سحرية فردية الرتبة ===
[[ملف:Odd magic construction.png|تصغير|400بك|طريقة بناء مربع سحري فردي الرتبة.]]
تتميز المربعات السحرية فردية الرتبة في إمكانية تدوير المربع حتى تصبح الصفوف والأعمدة أقطارا بينما الأقطار صفوفا وأعمدة. يكون مركز المربع السحري دائما <math>\frac{n^2+1}{2}</math>
تتم العملية بالشكل الاتي:
:1- تعبئة المربع بالأرقام 1 حتى n<sup>2</sup>. سيتم تكرار المربع السحري من جميع جوانبه لتسهيل معرفة الأرقام المكملة خارجه عند الإزاحة.
:2- قراءة أحد القطرين وليكن [[قطر رئيسي|القطر الرئيسي]] ووضعه كعمود وسط المصفوفة الجديدة.
:3- قراءة الخلايا الموازية فوق القطر الرئيسي مع إزاحتها خلية واحدة (من الصف والعمود) في كل مرة عن سابقتها نحو اليسار والأعلى. يتم التوقف بعد n-1)/2) خطا موازيا للقطر الرئيسي.
:3- قراءة الخلايا الموازية تحت القطر الرئيسي مع إزاحتها خلية واحدة (من الصف والعمود) في كل مرة عن سابقتها نحو اليمين والأسفل. يتم التوقف بعد n-1)/2) خط موازيا للقطر الرئيسي.
:4- يتم نقل العناصر الجديدة إلى مصفوفة جديدة مع تدويرها 45 درجة بحيث تصبح الصفوف والأعمدة الأصلية أقطارا والأقطار الأصلية صفوفا.

=== طرق إنشاء مربعات سحرية زوجية الرتبة (مضاعفة) ===
[[ملف:Double-even magic construction.png|تصغير|200بك|طريقة بناء مربع سحري ذو رتبة زوجية مضاعفة.]]
تمتاز المربعات السحرية التي يقبل ثابتها السحري القسمة على 4 بدون باقي بإمكانية تطبيق قاعدة التبديل بين المرافقات بعد كل خليتين.
يمكن تلخيص العملية كما يلي
:1- تعبئة المربع بالأرقام 1 حتى n<sup>2</sup>.

:2- التبديل بين جميع أركان المربع. مثلا في المربع 4×4 تكون أركانه هي 1، 4، 13، 16. عند التبديل بين الركن الأول والرابع أي 1، 16 والركن الثاني والثالث أي 4، 13.
:3- يتم تكرار الإبدال لكل خليتين متتاليتين (مع ما يقابهما أي التبديل بين كل ''a''<sub>(n-i+1)(n-j+1)</sub> و''a''<sub>ji</sub>) وترك خليتين أخريين ابتداء من الخلية الثالثة في الصف الأول وحتى الوصول إلى مركز المربع مع عدم المساس بالأركان التي تم تغييرها في الخطوة السابقة.

=== طرق إنشاء مربعات سحرية زوجية الرتبة (مفردة) ===
[[ملف:Single-even magic construction.png|تصغير|250بك|طريقة بناء مربع سحري ذو رتبة زوجية مفردة.]]
تعتبر عملية إنشاء المربعات السحرية التي لا تقبل القسمة على 4 بدون باقي صعبة نسبيا، كما أنها لا تتميز بالتماثل التام. أبسط الطرق تتمثل في إعادة تقسيم المربع إلى 4 مربعات صغيرة متكافئة كما يلي:
:1- تقسيم المربع إلى 4 مربعات صغيرة متكافئة. لاحظ أن المربعات الناشئة عبارة عن مربعات فردية.
:2- تعبئة المربع الأول بالأرقام 1 حتى n<sup>2</sup>/4.
:3- تحويل المربع في الخطوة 2 إلى مربع سحري بالطريقة المستخدمة في المربعات السحرية الفردية.
:4- نقل نسخة من هذا المربع في المربعات الثلاثة الباقية مع إضافة n<sup>2</sup>/4 لكل عنصر في المربع الثاني، n<sup>2</sup>/2 لكل عنصر في المربع الثالث، و3n<sup>2</sup>/4 لكل عنصر في المربع الرابع.
:5- أصبح المربع السحري جاهزا تقريبا ولكن ينقصه شرط تحقق مجموع عناصر كل قطر. في هذه الحالة يتم التبديل بين بعض عناصر مربعين متجاورين حتى يكتمل الشرط.

== مشاكل رياضية ذات صلة ==
استخدام عملية الطرح في مكعب من الاعداد من 1 إلى 9

== الخوارزمية ==
=== برمجة المربعات السحرية ===
حساب المربعات السحرية يصبح سهلا بعد معرفة خوارزمياتها ومن الممكن برمجتها بأي [[لغة برمجة]]. مثلا باستعمال متصفح الويب ولغة [[جافا سكريبت|جافا سكربت]] يمكن إنشاء دالة المربع السحري لأي عدد طبيعي كما يلي<ref>[https://www.freewebs.com/equations/ صفحة المعالج الرياضي مصممة كليا بلغة HTML وجافا سكربت] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120629051808/http://www.freewebs.com/equations/ |date=29 يونيو 2012}}</ref>
<div style="background-color:#f0f0f0; border: lightblue 1px dashed;">
<syntaxhighlight lang="html4strict">
<html>
<script>
function magic(n)
{
   var i=0, j=(n-1)/2, p, k, m=[],  m1=[], m2=[];
    if(n<=0 || n-Math.ceil(n)!=0) return 'Error: n must be a positive integer..';
    if(n==2) return 'Error: there is no magic square of 2x2 !';
    if(n%4==0){//Double Even
        for (i=0; i<n/2; i++){
            for (j=0; j<n; j++){
                if((((i%4==0)||(i%4==3))&&((j%4==1)||(j%4==2)))||(((j%4==0)||(j%4==3))&&((i%4==1)||(i%4==2)))){
                    m1[j]= i*n+j+1;
                    m2[n-j-1]= n*(n-i)-j;
                }
                else{
                    m1[j]= n*(n-i)-j;
                    m2[n-j-1]=i*n+j+1;
                }            }
            m[i]=m1;
            m[n-i-1]=m2;
            m1=[];
            m2=[];
        }
    }
    else if(n%2==0){//Single Even
        p = n/2;
        m1 = magic(p);
        for (i=0; i<2*p; i++)m[i]=[];
        for (i=0; i<p; i++)for(j=0; j<p; j++){
            m[i][j] = m1[i][j]*1;
            m[i][j+p] = m1[i][j]*1+2*p*p;
            m[i+p][j] = m1[i][j]*1+3*p*p;
            m[i+p][j+p] = m1[i][j]*1+p*p;
         }
        for(i=0; i<p; i++){
            k = (n-2)/4;
            for(j=0; j<k; j++){
                k2=m[i][j];
                m[i][j]=m[i+p][j];
                m[i+p][j]=k2;
            }
        }
        for(i=0; i<p; i++){
            for(j=n-k+1; j<n; j++){
                k2=m[i][j];
                m[i][j]=m[i+p][j];
                m[i+p][j]=k2;
            }
        }
        k2=m[k][0]; m[k][0]=m[k+p][0]; m[k+p][0]=k2;
        k2=m[k][k]; m[k][k]=m[k+p][k]; m[k+p][k]=k2;
    }
    else{// Odd
        for (k=1; k<=n*n; k++)
        {
            m2[i*n +j] = k;
            i--;
            j++;
            if (k%n == 0){
                i += 2;
                j--;
            }
            if (j==n)j = 0;
            if (i==-1) i = n-1;
        }
        for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)m1[j]=m2[i*n+j];m[i]=m1;m1=[];}
    }
    m[0][0]=' '+m[0][0];
    for (k=0; k<n; k ++) m[k][n-1] += '\n';
    return m;
}
</script>
<noscript> Java script must be enabled..<br /> </noscript>
<body>
Magic square of <input id=ent value="6">
<input type="button" value = " = " onclick ="disp.value=magic(ent.value*1)">
<br /><textarea id="disp" style="width: 780px; height: 300px">
</textarea>
</body>
</html>
</syntaxhighlight>
</div>

== تطبيقات ==
للمربع السحري بعض التطبيقات المسلية والعلمية أحيانا. يمكن بواسطته مثلا تحليل المساحات بشكل منتظم. مثال ذلك المسألة التالية:

لو كان لدينا 81 قطعة ذهبية بحيث أن كتلة كل قطعة تساوي ترتيبها. أي أن كتلة الأولى 1 غرام والثانية 2 غرام وهكذا وتطلب الأمر توزيعها بشكل عادل بين 9 أفراد.
نلاحظ أن إعادة توزيع هذه القطع في مربع سحري 9×9 يعطي الحل الأمثل بحيث يصبح نصيب كل فرد أحد صفوف المربع. يمكن أيضا توزيعها بطريقة الأعمدة بحيث يكون نصيب كل فرد أحد أعمدة المربع السحري.
== مراجع ==
{{مراجع}}
{{جبر خطي}}

{{تصنيف كومنز|Magic squares}}

{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|رياضيات|ألعاب تقمص أدوار|ألعاب}}

[[تصنيف:رموز سحرية]]
[[تصنيف:مربعات سحرية]]
[[تصنيف:مسائل غير محلولة في الرياضيات]]
[[تصنيف:مصفوفات]]