عرض مصدر متسلسلة تايلور

[[ملف:Sintay_SVG.svg|تصغير|300بك|بزيادة درجة كثير الحدود لتايلور، فإن الأخير يقترب من الدالة الصحيحة. تُظهر هذه الصورة دالة [[جيب (رياضيات)|جيب]] العدد x وتقريبات تايلور الخاصة بها بواسطة كثيرات الحدود ذات الدرجات <span style="color:red;">'''1'''</span>، و <span style="color:orange;">'''3'''</span>، و <span style="color:yellow;">'''5'''</span>، و <span style="color:lime;">'''7'''</span>، و <span style="color:blue;">'''9'''</span>، و <span style="color:indigo;">'''11'''</span> و <span style="color:violet;">'''13'''</span> عند {{تعبير رياضي|1=''x'' = 0}}.]]
{{تفاضل وتكامل}}
'''مُتَسَلْسِلَةُ تَايْلُور'''<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|دعبول|2018|ص=703}}</ref><ref group="عر">{{استشهاد مختصر|مكتب التنسيق|1990|ص=148}}</ref> أو '''سِلْسِلَةُ تَايْلُور'''<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|يدري|2018|ص=153}}</ref> {{إنج|Taylor series}} أو '''مَفْكُوكُ تَايْلُور'''<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|خضيري|2020|ص=168}}</ref> أو '''نَشْرُ تَايْلُور'''<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|يدري|2019|ص=315}}</ref> {{إنج|Taylor expansion}} لدالة ما هي مجموع غير منتهٍ من الحدود التي يُعبَّر عنها بدلالة مشتقات الدالة في نقطة محددة. تكون معظم الدوال الشائعة ومجموع متسلسلة تايلور الخاصة بها متساويتين بالقرب من هذه النقطة. سميت سلسلة تايلور على اسم العالم الإنجليزي [[بروك تايلور]]، الذي أدخلها في عام 1715. وتسمى متسلسلة تايلور أيضًا '''[[متسلسلة ماكلورين]]''' عندما تكون المشتقات عند النقطة 0، تيمنًا بالعالم الإسكتلندي [[كولين ماكلورين]]، الذي استخدم هذه الحالة الخاصة من متسلسلة تايلور على نطاق واسع في منتصف [[القرن 18|القرن الثامن عشر]].

المجموع الجزئي المكون من حدود {{تعبير رياضي|n + 1}} الأولى لمتسلسلة تايلور هو كثير الحدود من الدرجة {{تعبير رياضي|n}} يسمى كثير حدود تايلور للدالة من الدرجة {{تعبير رياضي|n}}. تعد معادلات تايلور كثيرة الحدود تقديرات تقريبية لدالة ما، والتي تصبح أكثر دقة عمومًا عندما تتزايد {{تعبير رياضي|n}}. تعطي [[مبرهنة تايلور]] تقديرات كمية للخطأ الناتج عن استخدام مثل هذه التقديرات التقريبية. إذا كانت متسلسلة تايلور للدالة متقاربة، فإن مجموعها هي [[نهاية (رياضيات)|نهاية]] المتتالية اللانهائية لكثير الحدود لتايلور. قد تختلف الدالة عن مجموع متسلسلة تايلور الخاصة بها، حتى لو كانت متسلسلة تايلور متقاربة. تكون الدالة [[دالة تحليلية|تحليلية]] عند نقطة {{تعبير رياضي|x}} إذا كانت مساوية لمجموع متسلسلة تايلور الخاصة بها في [[مجال فاصل (رياضيات)|فترة]] مفتوحة (أو [[قرص (رياضيات)|قرص]] مفتوح في [[مستو مركب|المستوي المركب]]) تحوي {{تعبير رياضي|x}}. هذا يعني أن الدالة تحليلية في كل نقطة من الفترة (أو القرص).

== التعريف ==
متسلسلة تايلور [[دالة حقيقية المستقر|لدالة حقيقية]] أو [[تحليل مركب|ذات قيم مركبة]] {{تعبير رياضي|f(x)}} من الصنف {{تعبير رياضي|C<sup>∞</sup>}} (أي قابلة للتفاضل لانهائيًّا) عند عدد حقيقي أو مركب {{تعبير رياضي|a}} هي [[متسلسلة القوى]]:<ref name=":5">{{استشهاد مختصر|Thomas|1995|ص=673|لغة=en}}</ref>
: <math>f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f'(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots</math>

وفيها {{تعبير رياضي|n!}} ترمز إلى [[عاملي]] {{تعبير رياضي|n}}. يمكن كتابة المتسلسلة السابقة [[مجموع (علم الحساب)|بتدوين سيغما]] الأكثر اختصارًا كما يأتي:
: <math> \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}</math>

وفي هذا الشكل تشير {{تعبير رياضي|f{{I sup|(n)}}(a)}} إلى [[مشتق (رياضيات)|مشتق]] {{mvar|f}} من الدرجة {{تعبير رياضي|n}} عند النقطة {{mvar|a}} (المشتقة من الدرجة 0 للدالة {{mvar|f}} معرفة على أنها {{mvar|f}} نفسها و{{تعبير رياضي|(x − a)<sup>0</sup>}} و {{تعبير رياضي|0!}} معرفتان على أنها 1.)

عندما يكون {{تعبير رياضي|a {{=}} 0}}، تأخذ متسلسلة ماكلورين الشكل التالي:<ref name=":5" />

: <math>f(0)+\frac {f'(0)}{1!} x+ \frac{f(0)}{2!} x^2+\frac{f'(0)}{3!}x^3+ \cdots </math>

بتدوين سيغما الأكثر اختصارًا: <math> \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}</math>

== الأمثلة ==
متسلسلة تايلور لأي [[متعددة الحدود|كثير حدود]] هو كثير الحدود نفسه.

متسلسلة ماكلورين لـ {{تعبير رياضي|{{كسر|1|1 − x}}}} هي [[متسلسلة هندسية|المتسلسلة الهندسية]] التالية:

: <math>1 + x + x^2 + x^3 + \cdots</math>

إذن، بتعويض {{mvar|x}} بـ {{تعبير رياضي|1 − x}}، متسلسلة تايلور لـ {{تعبير رياضي|{{كسر|1|x}}}} عند {{تعبير رياضي|a {{=}} 1}} هي:

:<math>1 - (x-1) + (x-1)^2 - (x-1)^3 + \cdots</math>

بمكاملة متسلسلة ماكلورين أعلاه، تنتج متسلسلة ماكلورين: {{تعبير رياضي|ln(1  − x)}}, وفيها يشير {{تعبير رياضي|ln}} إلى [[لوغاريتم طبيعي|اللوغاريتم الطبيعي]]:

:<math>-x - \tfrac{1}{2}x^2 - \tfrac{1}{3}x^3 - \tfrac{1}{4}x^4 - \cdots</math>

متسلسلة تايلور الموافقة للدالة {{تعبير رياضي|ln x}} عند {{تعبير رياضي|a {{=}} 1}} هي:

:<math>(x-1) - \tfrac{1}{2}(x-1)^2 + \tfrac{1}{3}(x-1)^3 - \tfrac{1}{4}(x-1)^4 + \cdots</math>

متسلسلة تايلور الموافقة للدالة {{تعبير رياضي|ln x}} عند أي نقطة {{mvar|a}} لا تساوي الصفر هي:

:<math>\ln a + \frac{1}{a} (x - a) - \frac{1}{a^2}\frac{\left(x - a\right)^2}{2} + \cdots</math>

متسلسلة ماكلورين [[دالة أسية|للدالة الأسية]] {{تعبير رياضي|e<sup>x</sup>}} هي:

: <math>\begin{align}
   \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} &= \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots \\
   &= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots
 \end{align}</math>

المفكوك أعلاه مستمر لأن مشتق {{تعبير رياضي|e<sup>x</sup>}} بالنسبة لـ {{mvar|x}} هو نفسه {{تعبير رياضي|e<sup>x</sup>}}، و{{تعبير رياضي|e<sup>0</sup>}} تساوي 1. يجعل هذا الحدود {{تعبير رياضي|(x − 0)<sup>n</sup>}} في البسط و{{تعبير رياضي|n!}} في المقام لأي حد في المتسلسلة اللانهائية.

== التاريخ ==
نظر [[فلسفة يونانية|الفيلسوف الإغريقي]] [[زينون الإيلي]] في مسألة جمع متسلسلة لانهائية لتحقيق نتيجة منتهية، لكنهُ رفضها لأنها مستحيلة؛<ref>{{استشهاد مختصر|Lindberg|2007|ص=33|لغة=en}}</ref> وكانت النتيجة [[مفارقات زينون|مفارقة زينون]]. اقترح [[أرسطو]] في وقت لاحق حلاً فلسفيًا للمفارقة، ولكن يبدو أن الجانب الرياضي لم يُحل حتى عالجه [[أرخميدس]]. عالج الفيلسوف [[ديمقريطس]]، صاحب المبدأ [[ذرة|الذري]]، في ما سبق هذه المسألة، وكان من المتقدمين الذين عاشوا قبل أرسطو. كانت من خلال [[طريقة استنفاد]] أرخميدس أنه يمكن إجراء عدد لانهائي من الأقسام الفرعية المستمرة لتحقيق نتيجة منتهية.<ref>{{استشهاد مختصر|Kline|1990|ج=2|ص=801|لغة=en}}</ref> استخدم الرياضياتي [[الصين]]ي [[ليو هوي]] بشكل مستقل طريقة مماثلة بعد بضعة قرون.<ref>{{استشهاد مختصر|Boyer|1991|ص=202–203|لغة=en}}</ref>

أعطى [[مادهافا من سانغماغراما]] في [[القرن 14|القرن الرابع عشر]] أقدم الأمثلة على متسلسلة تايلور المحددة (ولكن ليس الطريقة العامة).<ref name="dani">{{استشهاد مختصر|Dani|2012|ص=236–246|لغة=en}}</ref> على الرغم من عدم وجود أي سجل لأعماله، إلا أن كتابات أتباعه في [[مدرسة كيرلا لعلم الفلك والرياضيات]] تشير إلى أنه وجد متسلسلات تايلور للدوال المثلثية: [[جيب (رياضيات)|الجيب]] و[[جيب التمام]] و[[قوس الظل]] (طالع [[متسلسلات مادهافا]]). خلال القرنين التاليين، ثم طور أتباعه المزيد من مفكوكات المتسلسلة والتقريبات [[دالة كسرية|بالدوال الكسرية]].

عرض [[جيمس غريغوري (عالم)|جيمس غريغوري]] في رسالته إلى [[جون كولينز (رياضياتي)|جون كولينز]] في أواخر عام 1670م، العديد من متسلسلات ماكلورين ({{تعبير رياضي|[[جيب (رياضيات)|sin]] x}}، و{{تعبير رياضي|[[جيب التمام|cos]] x}}، و{{تعبير رياضي|[[قوس الجيب|arcsin]] x}}، و{{تعبير رياضي|x [[ظل التمام|cot]] x}}) المشتقة من قبل [[إسحاق نيوتن]]، وأخبر أن [[إسحاق نيوتن|نيوتن]] قد طور طريقة عامة لنشر الدوال في شكل متسلسلات. في الواقع، استخدم نيوتن طريقة مرهقة تنطوي على تقسيم طويل للمتسلسلة والتكامل حدًّا تلو الآخر، لكن غريغوري لم يكن يعرف ذلك وشرع في اكتشاف طريقة عامة لنفسه. في أوائل عام 1671، اكتشف غريغوري شيئًا مثل متسلسلة ماكلورين العامة وأرسل رسالة إلى كولينز تتضمن المتسلسلات الخاصة بـ <math display="inline">\arctan x</math> ([[قوس الظل]])، و <math display="inline">\tan x</math> ([[ظل (حساب المثلثات)|ظل الزاوية]])، و <math display="inline">\sec x</math> ([[قاطع (حساب المثلثات)|قاطع الزاوية]])، و <math display="inline">\ln\, \sec x</math> ([[لوغاريتم طبيعي|اللوغاريتم الطبيعي]] لقاطع {{تعبير رياضي|x}}، وهو تكامل دالة الظل)، و <math display="inline">\ln\, \tan\tfrac12{\bigl(\tfrac12\pi + x\bigr)}</math> ({{وإو|تكامل دالة القاطع|Integral of the secant function}}، وهي الدالة العكسية [[دالة غودرمانية|للدالة الغودرمانية]])، و<math display="inline">\arcsec \bigl(\sqrt2 e^x\bigr)</math> ([[دوال مثلثية عكسية|قوس قاطع]] [[الجذر التربيعي ل 2|الجذر التربيعي للعدد 2]] مضروب في [[دالة أسية|الدالة الأسية]])، و <math display="inline">2 \arctan e^x - \tfrac12\pi</math> ([[دالة غودرمانية|الدالة الغودرمانية]]). ومع ذلك، معتقدًا أنه قد أعاد تطوير طريقة نيوتن، لم يصف غريغوري أبدًا كيف حصل على هذه المتسلسلة، ولا يمكن الاستدلال إلا على أنه فهم الطريقة العامة من خلال فحص الأعمال الأولى التي كتبها على الوجه الخلفي من رسالة أخرى أُرخت سنة 1671م.<ref>{{ترقيم استشهادات
|م1= {{استشهاد مختصر|Turnbull|1939|ص=168–174|لغة=en}}
|م2={{استشهاد مختصر|Roy|1990|ص=291–306|لغة=en}}
|م3={{استشهاد مختصر|Malet|1993|ص=97–137|لغة=en}}}}</ref>

كتب [[إسحاق نيوتن]] بين عامي 1691 و1692م، بيانًا صريحًا لمتسلسلات تايلور وماكلورين في نسخة غير منشورة من عملهِ {{لات|De Quadratura Curvarum}} (تعني حرفيًّا "عن [[تربيع (مساحات)|تربيع]] المنحنيات"). لكن هذا العمل لم يكتمل أبداً وحذفت الأقسام ذات الصلة من الأجزاء المنشورة عام 1704م، تحت عنوان {{لات|Tractatus de Quadratura Curvarum}} (تعني حرفيًّا "أطروحة تربيع المنحنيات").<ref group="fr">{{استشهاد مختصر|Whiteside|1983|ص=186-188|لغة=fr}}</ref>

لم تُنشر طريقة عامة لتوليد هذه المتسلسلة لجميع الدوال التي وضع [[بروك تايلور]] متسلسلاتها حتى عام 1715م،<ref>{{ترقيم استشهادات
|م1= {{استشهاد مختصر|Taylor|1715|ص=21–23 (Prop. VII, Thm. 3, Cor. 2)|لغة=en}}
|م2={{استشهاد مختصر|Feigenbaum|1985|ص=1-140|لغة=en}}
|م3={{استشهاد مختصر|Struik|1969|ص=329-332|لغة=en}}}}</ref> وسُميت المتسلسلة بعد ذلك باسم هذا العالم.

سُميت [[متسلسلة ماكلورين]] على اسم [[كولين ماكلورين]]، وهو أستاذ جامعي في [[إدنبرة]] نشر الحالة الخاصة لنتائج تايلور في منتصف القرن الثامن عشر.<ref>{{استشهاد مختصر|Struik|1969|لغة=en|ص=338}}</ref>

== الدوال التحليلية ==
[[ملف:Exp_neg_inverse_square.svg|تصغير|300x300بك|الدالة {{تعبير رياضي|''e''<sup>(−1/''x''<sup>2</sup>)</sup>}} غير تحليلية عند {{تعبير رياضي|''x'' {{=}} 0}}: تساوي متسلسلة تايلور في هذه الحالة 0، على الرغم من أن الدالة ليست كذلك.]]
{{مفصلة|دالة تحليلية}}
إذا عُبِّر عن {{تعبير رياضي|''f'' (''x'')}} باستعمال متسلسلة قوى متقاربة في قرص مفتوح متمركز عند ''{{mvar|b}}'' في [[مستوى عقدي|المستوي المركب]] (أو [[مجال فاصل (رياضيات)|فترة]] في [[مستقيم الأعداد الحقيقية]])، يُقال عنها أنها [[دالة تحليلية|تحليلية]] في هذه المنطقة. وبالتالي، بالنسبة إلى ''{{mvar|x}}'' في هذه المنطقة، تُعطى ''{{mvar|f}}'' بمتسلسلة قوى متقاربة التالية:<ref>{{استشهاد مختصر|Thomas|1995|ص=667|لغة=en}}</ref>

: <math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-b)^n</math>

بالاشتقاق بالنسبة لـ ''{{mvar|x}}'' للصيغة أعلاه ''{{mvar|n}}'' مرات، ثم وضع {{تعبير رياضي|''x'' {{=}} ''b''}}، نحصل على:

: <math>\frac{f^{(n)}(b)}{n!} = a_n</math>
{{برهان|تكتب متسلسلة القوى على هذا الشكل:

<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-b)^n= a_0 + a_1 (x-b) +a_2 (x-b)^2 + a_3 (x-b)^3 + \cdots</math>

لما <math>x = 0</math> ، تصبح <math>f(x) = a_0</math>

نشتق الدالة المعطاة، تصبح:

<math>f'(x) = a_1 + 2 a_2 x + 3 a_3 x^2 + 4 a_4 x^3 + \cdots</math>

عند تعويض المتسلسلة الأخيرة بـ 0، نحصل على: <math>f'(x) = a</math>

ثم نشتق الدالة المشتقة، تصبح:

<math>f''(x) = 2a_2 + 6 a_3 x + 12 a_4 x^2 + \cdots</math>

عند تعويض المشتقة من الدرجة الثانية بـ 0، نحصل على <math>f''(x) = 2a_2</math>

إذن، <math>\frac{f''(x)}{2!} = 2a_2</math>

تُستنتج دالة تايلور بتكرار العملية نفسها وبتعويض نسب مشتقات <math>f(x)</math> من مختلف الرتب إلى معاملات <math>a_n</math> الخاصة بالدالة الأخيرة.}}

تتوافق متسلسلة القوى مع متسلسلة تايلور. أي أن الدالة تكون تحليلية في قرص مفتوح متمركز عند {{mvar|b}} إذا وفقط إذا كانت متسلسلة تايلور الخاصة بها تتقارب نحو قيمة الدالة عند كل نقطة من القرص.

إذا كانت {{تعبير رياضي|f (x)}} مساوية لمجموع متسلسلة تايلور الخاصة بها من أجل كل {{mvar|x}} في المستوي المركب، فإنها تسمى [[دالة صحيحة]]. تعد كثيرات الحدود، و[[دالة أسية|الدالة الأسية]] {{تعبير رياضي|e<sup>x</sup>}}، ودالتا [[جيب (رياضيات)|الجيب]] و[[جيب التمام]] [[دوال مثلثية|المثلثيتان]]، أمثلةً على الدوال الصحيحة. تتضمن أمثلة الدوال غير الصحيحة [[جذر تربيعي|الجذر التربيعي]]، و[[لوغاريتم|اللوغاريتم]]، والدالة المثلثية [[ظل (حساب المثلثات)|الظل]] ودالتها العكسية [[قوس الظل]]. بالنسبة لهذه الدوال، لا [[متسلسلة متقاربة|تتقارب]] متسلسلة تايلور إذا كانت {{mvar|x}} بعيدة عن {{mvar|b}}.<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|مجمع القاهرة|2000|ص=101}}</ref><ref name=":6">{{استشهاد مختصر|Holland|1973|ص=183-184|لغة=en}}</ref> أي أن متسلسلة تايلور [[متسلسلة متباعدة|تتباعد]] عند {{mvar|x}} إذا كانت المسافة بين {{mvar|x}} و{{mvar|b}} أكبر من [[نصف قطر التقارب]].<ref name=":6" /> يمكن استخدام متسلسلة تايلور لحساب قيمة دالة صحيحة في كل نقطة، إذا كانت قيمة الدالة وجميع مشتقاتها معلومة عند نقطة واحدة. تشمل استخدامات متسلسلة تايلور للدوال التحليلية ما يلي:

# يمكن استخدام المجاميع الجزئية (كثيرات الحدود لتايلور) للمتسلسلة تقريبًا للدالة. هذه التقريبات جيدة إذا ضُمِّنت عدد كافٍ من الحدود.
# يمكن إجراء تفاضل وتكامل متسلسلات القوى حدًّا تلو الآخر، وبالتالي فهي سهلة بشكل خاص.<ref>{{استشهاد مختصر|Thomas|1995|ص=667-668|لغة=en}}</ref>
# تُمَدَّد دالة تحليلية بشكل فريد إلى [[دالة تامة الشكل|دالة هولومورفية]] على قرص مفتوح في المستوي المركب. هذا يجعل آلية [[تحليل عقدي|التحليل المركب]] متاحة.<ref>{{استشهاد مختصر|Holland|1973|ص=182-183|لغة=en}}</ref>
# يمكن استخدام المتسلسلة ([[تدوير (رياضيات)|المدورة]]) لحساب قيم الدوال عدديًا<ref>{{استشهاد مختصر|Thomas|1995|ص=682-683|لغة=en}}</ref> (غالبًا عن طريق إعادة صياغة كثير الحدود في [[متعددات الحدود لتشيبيشيف|شكل تشيبيشيف]] وتقييمها باستخدام [[خوارزمية كلنشو]]).<ref>{{استشهاد مختصر|Lee|1970|ص=1-2|لغة=en}}</ref>
# يمكن إجراء العمليات الجبرية بسهولة على تمثيل متسلسلة القوى؛ على سبيل المثال، تُسْتَنْتَج [[صيغة أويلر]] من مفكوكات تايلور للدوال المثلثية والأسية.<ref>{{استشهاد مختصر|Thomas|1995|ص=684|لغة=en}}</ref> هذه النتيجة ذات أهمية أساسية في مجالات مثل [[تحليل توافقي|التحليل التوافقي]].
# يمكن للتقريب باستخدام الحدود القليلة الأولى من متسلسلة تايلور أن يجعل للمسائل غير القابلة للحل يمكن حلها في مجال مقصّر؛ غالبًا ما يستخدم هذا التقريب في [[فيزياء|الفيزياء]].

== خطأ التقريب والتقارب ==
{{مفصلة|مبرهنة تايلور}}
[[ملف:Taylorsine.svg|تصغير|300x300بك|تُقَرَّب دالة الجيب (بالأزرق) تقريبًا وثيقًا بواسطة كثير الحدود لتايلور من الدرجة 7 (بالوردي) لدور كامل متمركز في نقطة الأصل.]]
[[ملف:LogTay.svg|تصغير|300x300بك|توفر كثيرات الحدود لتايلور الخاصة بـ {{تعبير رياضي|ln(1 + x)}} تقريبات دقيقة فقط في المدى {{تعبير رياضي|−1 < x ≤ 1}}. بالنسبة لـ {{تعبير رياضي|x > 1}}، توفر كثيرات الحدود لتايلور من الدرجة الأعلى تقريبات سيئة.]]
[[ملف:Logarithm_GIF.gif|تصغير|300x300بك|تقريبات تايلور لـ {{تعبير رياضي|ln(1 + x)}} (بالأسود). من أجل {{تعبير رياضي|x > 1}}، تتباعد التقريبات.]]
توضح الصورة المقابلة تقريب دقيق لدالة الجيب حول النقطة x = 0. المنحنى الوردي هو كثير الحدود من الدرجة السابعة:

: <math>\sin{x} \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}</math>
الخطأ في هذا التقريب لا يزيد عن {{تعبير رياضي|{{قيمة مطلقة|x}}<sup>9</sup> / 9!}}. لدورة كاملة متمركزة في نقطة الأصل ({{تعبير رياضي|−π < x < π}})، يكون الخطأ أقل من 0.08215. بشكل خاص، بالنسبة لـ {{تعبير رياضي|−1 < x < 1}}، يكون الخطأ أقل من 0.000003.

في المقابل، تظهر أيضًا صورة لدالة اللوغاريتم الطبيعي {{تعبير رياضي|ln(1 + x)}} وبعض كثيرات الحدود لتايلور حول {{تعبير رياضي|a {{=}} 0}}. تتقارب هذه التقريبات نحو الدالة فقط في المنطقة {{تعبير رياضي|−1 < x ≤ 1}}؛ خارج هذه المنطقة، تعد كثيرات حدود لتايلور ذات الدرجة الأعلى تقريبات سيئة للدالة.

يُطلق على الخطأ الذي حصل في تقريب دالة بكثير الحدود لتايلور من الدرجة {{mvar|n}} اسم "الباقي" ويُشار إليه بالدالة {{تعبير رياضي|R<sub>n</sub>(x)}}. يمكن استخدام مبرهنة تايلور للحصول على تقييد [[مبرهنة تايلور#الصيغ الصريحة للباقي|لحجم الباقي]].<ref>{{استشهاد مختصر|Thomas|1995|ص=679|لغة=en}}</ref>

متسلسلة تايلور ليست [[متسلسلة متقاربة|متقاربة]] على الإطلاق. إن مجموعة الدوال المُعرَّفة بمتسلسلات تايلور المتقاربة هي في الواقع [[مجموعة هزيلة]] في [[فضاء فريشيه]] [[نعومة دالة|للدوال الملساء]].<ref>{{استشهاد مختصر|Buhler|2018|ص=44|لغة=en}}</ref> وحتى إذا تقاربت متسلسلة تايلور للدالة f، فلا يلزم أن تكون [[نهاية (رياضيات)|نهايتها]] مساوية لقيمة الدالة {{تعبير رياضي|f (x)}}. فعلى سبيل المثال، الدالة التالية:

<math>
f(x) = \begin{cases}
  e^{-1/x^2} & \text{if } x \neq 0 \\[3mu]
  0          & \text{if } x = 0
\end{cases}
</math>

هي دالة قابلة للاشتقاق لانهائيَّا عند {{تعبير رياضي|x {{=}} 0}}، وله جميع المشتقات تساوي الصفر. وبالتالي، فإن متسلسلة تايلور الخاصة بـ {{تعبير رياضي|f (x)}} عند {{تعبير رياضي|x {{=}} 0}} تساوي صفرًا بشكل مطابق. ومع ذلك، فإن {{تعبير رياضي|f (x)}} ليست دالة صفرية، لذلك لا تساوي متسلسلة تايلور الخاصة بها عند نقطة الأصل. وبالتالي، فإن {{تعبير رياضي|f (x)}} هي مثال على دوال ملساء غير تحليلية.

: <math>
f(x) = \begin{cases}
  e^{-1/x^2} & \text{if } x \neq 0 \\[3mu]
  0          & \text{if } x = 0
\end{cases}
</math>

يُظهر مثال في [[تحليل حقيقي|التحليل الحقيقي]] هذا وجود [[نعومة دالة|دوال قابلة للتفاضل لانهائيّا]] {{تعبير رياضي|f (x)}} متسلسلة تايلور الخاصة بها لا تساوي {{تعبير رياضي|f (x)}} حتى لو كانت متقاربة. على النقيض من ذلك، فإن [[دالة تامة الشكل|الدوال الهولومورفية]] التي دُرِست في [[تحليل عقدي|التحليل المركب]] تمتلك دائمًا متسلسلة تايلور متقاربة، وحتى متسلسلة تايلور [[دالة جزئية الشكل|للدوال الميرومورفية]]، والتي قد يكون لها [[نقطة شاذة|نقاط شاذة]]، لا تتقارب أبدًا مع قيمة مختلفة عن الدالة نفسها. ومع ذلك، فإن الدالة المركبة {{تعبير رياضي|e<sup>−1/z<sup>2</sup></sup>}} لا تقترب من 0 عندما تقترب {{mvar|z}} من 0 على طول المحور التخيلي، لذلك فهي ليست [[دالة مستمرة|مستمرة]] في المستوي المركب ومتسلسلة تايلور الخاصة بها غير معرفة عند 0.

يمكن أن تظهر كل متتالية الأعداد الحقيقية أو المركبة [[معامل]]اتٍ في سلسلة تايلور لدالة قابلة للتفاضل لانهائيًّا معرفة على المستقيم الحقيقي، نتيجة [[توطئة بوريل|لتوطئة بوريل]]. نتيجة لذلك، يمكن أن يكون [[نصف قطر التقارب|نصف قطر تقارب]] متسلسلة تايلور يساوي الصفر. حتى أن هناك دوال قابلة للتفاضل لانهائيًا معرفة على المستقيم الحقيقي التي متسلسلات تايلور الخاصة بالدوال لها نصف قطر تقارب يساوي 0 في كل مكان.<ref name=":0">{{استشهاد مختصر|Rudin|1980|ص=418|لغة=en}}</ref>

لا يمكن كتابة الدالة على شكل متسلسلة تايلور تتمركز على [[نقطة شاذة|النقطة الشاذة]]؛ في هذه الحالات، يمكننا في كثير من الأحيان تحقيق متسلسلة إذا سمحنا أيضًا القوى السالبة للمتغير {{mvar|x}}؛ طالع [[متسلسلة لوران]]. على سبيل المثال، يمكن كتابة {{تعبير رياضي|f (x) {{=}} e<sup>−1/x<sup>2</sup></sup>}} على شكل متسلسلة لوران.<ref>{{استشهاد مختصر|Giaquinta|2010|ص=192|لغة=en}}</ref>

=== التعميم ===
يوجد تعميم لمتسلسلة تايلور يتقارب مع قيمة الدالة نفسها إذا كانت [[دالة مستمرة|مستمرة]] محدودة في المجال {{تعبير رياضي|(0,∞)}}، يمكن حسابه باستخدام حساب [[فرق محدود|الفروق المحدودة]].<ref name=":1">{{استشهاد مختصر|Feller|2003|ص=230–2|لغة=en}}</ref><ref name=":2">{{استشهاد مختصر|Hille|1957|ص=300–327|لغة=en}}</ref> وفقاً للمبرهنة التالية، التي وضعها [[إينار هيل]]، من أجل {{تعبير رياضي|t > 0}}:

: <math>\lim_{h\to 0^+}\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\frac{\Delta_h^nf(a)}{h^n} = f(a+t).</math>
هنا {{تعبير رياضي|Δ{{su|p=n|b=h}}}} هو مؤثر الفرق المنتهي من الرتبة {{mvar|n}} ذو حجم الخطوة {{mvar|h}}. المتسلسلة هي بالضبط متسلسلة تايلور، باستثناء أن الفروق المقسَّمة تظهر بدلاً من التفاضل. عندما تكون الدالة {{mvar|f}} تحليلية عند {{mvar|a}}، فإن الحدود في المتسلسلة تتقارب نحو [[حد (رياضيات)|حدود]] متسلسلة تايلور، وبهذا المعنى تعمم متسلسلة تايلور المألوفة.

== قائمة متسلسلات ماكلورين لبعض الدوال الشائعة ==
{{أيضا|قائمة المتسلسلات الرياضياتية}}
هذه القائمة للعديد من متسلسلات ماكلورين الهامة. كل هذه المفكوكات صالحة [[مدخل دالة|للمداخل]] [[عدد مركب|المركبة]] {{mvar|x}}:

=== الدالة الأسية ===
[[دالة أسية|الدالة الأسية]] <math>e^x</math> للأساس [[ه (رياضيات)|e]] لها متسلسلة ماكلورين التالية:<ref>{{استشهاد مختصر|1=Abramowitz|2=1972|ص=69|لغة=en}}</ref>[[ملف:Exp_series.gif|تصغير|[[دالة أسية|الدالة الأسية]] النيبيرية {{تعبير رياضي|e<sup>x</sup>}} (بالأزرق)، ومجموع الحدود {{تعبير رياضي|n + 1}} (عدد الحدود) لمتسلسلة تايلور الخاصة بها (بالأحمر).]]
: <math>e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots </math>.

تتقارب من أجل كل {{mvar|x}}.

[[دالة مولدة|الدالة المولدة]] الأسية [[عدد بيل|لأعداد بيل]] هي الدالة الأسية لسلف الدالة الأسية:<ref>{{استشهاد مختصر|Wilf|2013|ص=21|لغة=en}}</ref>

: <math>\exp(\exp{x}-1) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^{n}</math>

=== اللوغاريتم الطبيعي ===
دالة اللوغاريتم الطبيعي (للأساس e) لها متسلسلة ماكلورين التالية:<ref>{{استشهاد مختصر|1=Abramowitz|2=1972|ص=68|لغة=en}}</ref>

: <math>\begin{align}
\ln(1-x) &= - \sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n = -x - \frac{x^2}2 - \frac{x^3}3 - \cdots , \\
\ln(1+x) &= \sum^\infty_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \cdots .
\end{align}</math>

تتقارب تلك المتسلسلات من أجل <math>|x| < 1</math>. (بالإضافة إلى ذلك، المتسلسلة الخاصة بـ {{تعبير رياضي|ln(1 − x)}} تتقارب من أجل {{تعبير رياضي|x {{=}} −1}}، والمتسلسلة الخاصة بـ {{تعبير رياضي|ln(1 + x)}} تتقارب من أجل {{تعبير رياضي|x {{=}} 1}}.)

=== المتسلسلات الهندسية ===
[[متسلسلة هندسية|المتسلسلات الهندسية]] ومشتقاتها لها متسلسلات ماكلورين التالية:<ref name=":8">{{استشهاد مختصر|1=Abramowitz|2=1972|ص=15|لغة=en}}</ref>

: <math>\begin{align}
\frac{1}{1-x} &= \sum^\infty_{n=0} x^n \\
\frac{1}{(1-x)^2} &= \sum^\infty_{n=1} nx^{n-1}\\
\frac{1}{(1-x)^3} &= \sum^\infty_{n=2} \frac{(n-1)n}{2} x^{n-2}
\end{align}</math>

كلها تتقارب من أجل <math>|x| < 1</math>. هذه حالات خاصة من [[متسلسلة ذات حدين|متسلسلة ثنائي الحد]] الواردة في القسم التالي.

=== متسلسلة ثنائي الحد ===
[[متسلسلة ذات حدين|متسلسلة ثنائي الحد]] هي متسلسلة القوى التالية:<ref>{{استشهاد مختصر|1=Abramowitz|2=1972|ص=10-14-15|لغة=en}}</ref><math display="block">(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^n</math>

معاملاتها هي [[معامل ذات الحدين|معاملات ثنائي الحد]] المعممة:<ref>{{استشهاد مختصر|1=Abramowitz|2=1972|ص=10|لغة=en}}</ref><math display="block">\binom{\alpha}{n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.</math> (إذا كان {{تعبير رياضي|1=n = 0}}، هذا الجداء هو جداء خالٍ وله قيمة 1.) كلها تتقارب من أجل <math>|x| < 1</math> من أجل كل عدد حقيقي أو مركب {{mvar|α}}.
لما {{تعبير رياضي|1=α = −1}}، فهذه هي في الأساس المتسلسلة الهندسية اللانهائية المذكورة في القسم السابق. تعطي الحالات الخاصة {{تعبير رياضي|1=α = {{كسر|1|2}}}} و {{تعبير رياضي|1=α = −{{كسر|1|2}}}} دالة [[جذر تربيعي|الجذر التربيعي]] [[مقلوب عدد|ومقلوبها]]:<ref name=":8" /><math display="block">\begin{align} 
(1+x)^\frac{1}{2} &= 1 + \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{8}x^2 + \tfrac{1}{16}x^3 - \tfrac{5}{128}x^4 + \tfrac{7}{256}x^5 - \cdots &&=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n-1}(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n-1)} x^n, \\
(1+x)^{-\frac12} &= 1 -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{8}x^2 - \tfrac{5}{16}x^3 + \tfrac{35}{128}x^4 - \tfrac{63}{256}x^5 + \cdots &&=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n(2n)!}{4^n (n!)^2} x^n.
\end{align}</math>عندما يُحتفظ [[تقريب خطي|بالحد الخطي]] فقط، فإن هذا يبسط تقريب ثنائي الحد.
=== الدوال المثلثية ===
[[دوال مثلثية|الدوال المثلثية]] المألوفة ودوالها العكسية لها متسلسلة ماكلورين التالية:<ref>{{استشهاد مختصر|1=Abramowitz|2=1972|ص=74-75, 81|لغة=en}}</ref>
<small>
: <math>\begin{align}
\sin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} &&= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\cos x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &&= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\tan x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots && \text{for }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\sec x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} &&=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\cdots && \text{for }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\arcsin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} &&=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots && \text{for }|x| \le 1\\[6pt]
\arccos x &=\frac{\pi}{2}-\arcsin x\\&=\frac{\pi}{2}- \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}&&=\frac{\pi}{2}-x-\frac{x^3}{6}-\frac{3x^5}{40}-\cdots&& \text{for }|x| \le 1\\[6pt]
\arctan x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} &&=x-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}-\cdots && \text{for }|x| \le 1,\ x\neq\pm i
\end{align}</math>
</small>
كل الزوايا معبرة عنها [[راديان|بالتقدير الدائري]]. الأعداد {{تعبير رياضي|B<sub>k</sub>}} الظاهرة في مفكوكات دالة [[ظل (حساب المثلثات)|الظل]] هي [[عدد برنولي|أعداد برنولي]]. الأعداد {{تعبير رياضي|E<sub>k</sub>}} الظاهرة في مفكوك دالة [[قاطع (حساب المثلثات)|القاطع]] هي [[أعداد أويلر]].

=== الدوال الزائدية ===
[[دوال زائدية|الدوال الزائدية]] لها متسلسلة ماكلورين وثيقة الصلة بمتسلسلات الدوال المثلثية السالف ذكرها:<ref>{{استشهاد مختصر|1=Abramowitz|2=1972|ص=85|لغة=en}}</ref>
<small>
: <math>\begin{align}
\sinh x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} &&= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\cosh x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} &&= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\tanh x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n \left(4^n-1\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots && \text{for }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\operatorname{arsinh} x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} &&=x - \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} - \cdots && \text{for }|x| \le 1\\[6pt]
\operatorname{artanh} x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} &&=x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}  +\cdots && \text{for }|x| \le 1,\ x\neq\pm 1
\end{align}</math>
</small>
الأعداد {{تعبير رياضي|B<sub>k</sub>}} الظاهرة في متسلسلة [[دالة الظل الزائدية|دالة الظل الزائدي]] هي [[عدد برنولي|أعداد برنولي]].

=== دوال متعددة اللوغاريتمات ===
[[متعدد اللوغاريتمات|الدوال المتعددة اللوغاريتمات]] لها هذه المتطابقات المعرِّفة لها:<ref>{{استشهاد مختصر|1=Abramowitz|2=1972|ص=1004|لغة=en}}</ref>
: <math>\text{Li}_{2}(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2} x^{n}</math>
: <math>\text{Li}_{3}(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^3} x^{n}</math>
{{وإو|دالة خي للوجندر|Legendre chi function|4=دالتا خي للوجندر}} معرفة على النحو التالي:<ref name="ReferenceA">{{استشهاد مختصر|Weisstein|2002|ص=136|لغة=en}}</ref>
: <math>\chi_{2}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2n + 1)^2} x^{2n + 1}</math>
: <math>\chi_{3}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2n + 1)^3} x^{2n + 1}</math>
والصيغة الواردة أدناه تسمى تكامل دالة الظل العكسية:<ref name="ReferenceA"/>
: <math>\text{Ti}_{2}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)^2} x^{2n + 1}</math>
هذه الصيغ لها أهمية كبيرة في [[ميكانيكا إحصائية|الديناميكا الحرارية الإحصائية]].

=== الدوال الإهليلجية ===
يمكن تعريف [[تكامل إهليلجي|التكاملين الإهليلجيين]] التامين من النوع الأول K ومن النوع الثاني E على النحو التالي:<ref>{{استشهاد مختصر|1=Abramowitz|2=1972|ص=591|لغة=en}}</ref>
: <math>\frac{2}{\pi}K(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{[(2n)!]^2}{16^{n}(n!)^4}x^{2n}</math>
: <math>\frac{2}{\pi}E(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{[(2n)!]^2}{(1 - 2n)16^{n}(n!)^4}x^{2n}</math>

== حساب متسلسلات تايلور ==
توجد طرائق عديدة لحساب متسلسلة تايلور لعدد كبير من الدوال. يمكن محاولة استخدام تعريف متسلسلة تايلور، مع أن هذا يتطلب غالبًا تعميم شكل المعامِلات وفقًا لنمط واضح بسهولة. بدلاً من ذلك، يمكن استخدام العمليات مثل التعويض أو الضرب أو القسمة أو الجمع أو الطرح لمتسلسلة تايلور القياسية لإنشاء متسلسلة تايلور لدالة، بحكم أن متسلسلة تايلور هي متسلسلة قوى.<ref>{{استشهاد مختصر|Thomas|1995|ص=682|لغة=en}}</ref> في بعض الحالات، يمكن أيضًا اشتقاق متسلسلة تايلور من خلال تطبيق [[تكامل بالتجزئة|مكاملة بالتجزئة]] بشكل متكرر. من الملائم بشكل خاص استخدام [[نظام الجبر الحاسوبي|أنظمة الجبر الحاسوبية]] لحساب متسلسلة تايلور.

=== المثال الأول ===
المطلوب حساب كثير الحدود لماكلورين من الدرجة السابعة للدالة التالية:
: <math>f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)</math> ،
يمكن أولاً إعادة كتابة الدالة على الشكل التالي:
: <math>f(x)=\ln\bigl(1+(\cos x-1)\bigr)\!</math>
متسلسلة تايلور للوغاريتم الطبيعي هي (باستخدام [[تمثيل O الكبرى|تدوين O الكبير]]):<ref>{{استشهاد مختصر|Izaac|2019|ص=165|لغة=en}}</ref>
: <math>\ln(1+x) = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 + {O}\left(x^4\right)\!</math>

بالنسبة لدالة جيب التمام:

: <math>\cos x - 1 = -\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + {O}\left(x^8\right)\!</math>
للمتسلسلة الأخيرة [[حد ثابت (رياضيات)|حد ثابت]] مساوٍ للصفر، أي يمكن تعويض المتسلسلة الثانية في الأولى وإزالة الحدود ذات الدرجة الأعلى من الدرجة السابعة بسهولة باستخدام تدوين O الكبير:
<small>
: <math>\begin{align}f(x)&=\ln\bigl(1+(\cos x-1)\bigr)\\
&=(\cos x-1) - \tfrac12(\cos x-1)^2 + \tfrac13(\cos x-1)^3+ {O}\left((\cos x-1)^4\right)\\
&=\left(-\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} +{O}\left(x^8\right)\right)-\frac12\left(-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+{O}\left(x^6\right)\right)^2+\frac13\left(-\frac{x^2}2+O\left(x^4\right)\right)^3 + {O}\left(x^8\right)\\ & =-\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720} - \frac{x^4}8 + \frac{x^6}{48} - \frac{x^6}{24} +O\left(x^8\right)\\
& =- \frac{x^2}2 - \frac{x^4}{12} - \frac{x^6}{45}+O\left(x^8\right). \end{align}\!</math>
</small>
لأن جيب التمام [[دوال زوجية وفردية|دالة زوجية]]، بلزم أن تكون معاملات القوى الفردية كلها، أي {{تعبير رياضي|x}}، {{تعبير رياضي|x<sup>3</sup>}}، {{تعبير رياضي|x<sup>5</sup>}}، {{تعبير رياضي| x<sup>7</sup>}}، ... مساوية للصفر.

=== المثال الثاني ===
المطلوب إيجاد متسلسلة تايلور عند النقطة 0 للدالة:
: <math>g(x)=\frac{e^x}{\cos x}</math>

بالنسبة للدالة الأسية:

: <math>e^x = \sum^\infty_{n=0} \frac{x^n}{n!} =1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}+\cdots\!</math>

وكما في المثال الأول:

: <math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\!</math>

متسلسلة القوى، افتراضاً، هي:

: <math>\frac{e^x}{\cos x} = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots\!</math>
يكون الناتج عندئذ، بعد ضرب المقام وبتعويض سلسلة جيب التمام:
<small>
: <math>\begin{align} e^x &= \left(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots\right)\cos x\\
&=\left(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4x^4 + \cdots\right)\left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\right)\\&=c_0 - \frac{c_0}{2}x^2 + \frac{c_0}{4!}x^4 + c_1x - \frac{c_1}{2}x^3 + \frac{c_1}{4!}x^5 + c_2x^2 - \frac{c_2}{2}x^4 + \frac{c_2}{4!}x^6 + c_3x^3 - \frac{c_3}{2}x^5 + \frac{c_3}{4!}x^7 + c_4x^4 +\cdots \end{align}\!</math>
</small>
بجمع الحدود حتى الحد ذي الدرجة الرابعة:

: <math>e^x =c_0 + c_1x + \left(c_2 - \frac{c_0}{2}\right)x^2 + \left(c_3 - \frac{c_1}{2}\right)x^3+\left(c_4-\frac{c_2}{2}+\frac{c_0}{4!}\right)x^4 + \cdots\!</math>
يمكن إيجاد قيم <math>c_i</math> من خلال مطابقة المعاملات مع متسلسلة <math>e^x</math>، وينتج عنها:
: <math>\frac{e^x}{\cos x}=1 + x + x^2 + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^4}{2} + \cdots</math>

=== المثال الثالث ===
ستُستخدم طريقة تسمى "النشر غير المباشر"، أو "الفك غير المباشر"، لنشر الدالة المعطاة. تُستخدم هذه الطريقة نشر تايلور المعروفة للدالة الأسية. من أجل نشر {{تعبير رياضي|(1 + x)e<sup>x</sup>}} على سبيل المثال على شكل متسلسلة تايلور بدلالة {{mvar|x}}، نستخدم متسلسلة تايلور المعروفة لدالة {{تعبير رياضي|e<sup>x</sup>}} على سبيل المثال:
: <math>e^x = \sum^\infty_{n=0} \frac{x^n}{n!} =1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}+ \cdots</math>

وبالتالي،

: <math>\begin{align}(1+x)e^x &= e^x + xe^x = \sum^\infty_{n=0} \frac{x^n}{n!} + \sum^\infty_{n=0} \frac{x^{n+1}}{n!} = 1 + \sum^\infty_{n=1} \frac{x^n}{n!} + \sum^\infty_{n=0} \frac{x^{n+1}}{n!} \\ &= 1 + \sum^\infty_{n=1} \frac{x^n}{n!} + \sum^\infty_{n=1} \frac{x^n}{(n-1)!} =1 + \sum^\infty_{n=1}\left(\frac{1}{n!} + \frac{1}{(n-1)!}\right)x^n \\ &= 1 + \sum^\infty_{n=1}\frac{n+1}{n!}x^n\\ &= \sum^\infty_{n=0}\frac{n+1}{n!}x^n.\end{align}</math>

== متسلسلات تايلور تعريفاتٍ ==
تُعَرَّف [[دالة جبرية|الدوال الجبرية]] بمعادلة جبرية، وتُعَرَّف [[دالة متسامية|الدوال المتسامية]] (بما في ذلك تلك التي تمت مناقشتها أعلاه) ببعض الخصائص التي تحملها، مثل [[معادلة تفاضلية|المعادلة التفاضلية]].<ref name=":52">{{استشهاد مختصر|Thomas|1995|ص=529-530|لغة=en}}</ref> على سبيل المثال، [[دالة أسية|الدالة الأسية]] هي الدالة التي يساوي مشتقها نفسه دائمًا، وتفرض قيمة 1 عند [[أصل (رياضيات)|الأصل]]. يمكن مع ذلك تعريف [[دالة تحليلية]] تعريفاً وافياً باستعمال بمتسلسلة تايلور الخاصة بها.

تُستخدم متسلسلة تايلور لتعريف الدوال و"[[مؤثر|المؤثرات]]" في ميادين متنوعة من الرياضيات. على وجه الخصوص، هذا صحيح في الميادين التي تتعطل فيها التعريفات التقليدية للدوال. على سبيل المثال، باستخدام متسلسلة تايلور، يمكن أن يمدد الدوال التحليلية إلى مجموعات من [[مصفوفة (رياضيات)|المصفوفات]] والمؤثرات، مثل {{وإو|دالة أسية لمصفوفة|Matrix exponential|4=الدالة الأسية لمصفوفة}} أو {{وإو|لوغاريتم مصفوفة|Logarithm of a matrix}}.<ref>{{استشهاد مختصر|Taylor|2011|ص=146-147|لغة=en}}</ref>

يكون من الأنسب العمل مباشرةً مع متسلسلة القوى نفسها في الميادين أخرى، مثل التحليل الشكلي.<ref group="ملاحظة">التحليل الشكلي هو دراسة متسلسلة القوى الشكلية، و[[متسلسلة لوران]] الشكلية، ومتسلسلة الجذور الشكلية، وغيرها من المتسلسلات أو الدوال الشكلية.</ref> وهكذا يمكن تعريف حل معادلة تفاضلية على أنه متسلسلة قوى، والتي نأمل أن نثبت أنها متسلسلة تايلور للحل المطلوب.

== متسلسلة تايلور لدالة متعددة المتغيرات ==
يمكن أيضًا تعميم متسلسلة تايلور على دالة ذات أكثر من متغير باستخدام:<ref name=":3">{{استشهاد مختصر|Hormander|2003|ص=5–32|لغة=en}}</ref><ref>{{استشهاد مختصر|Duistermaat|2010|ص=59-63|لغة=en}}</ref>
<small>
: <math>\begin{align}
T(x_1,\ldots,x_d) &= \sum_{n_1=0}^\infty \cdots \sum_{n_d = 0}^\infty  \frac{(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}\,\left(\frac{\partial^{n_1 + \cdots + n_d}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a_1,\ldots,a_d) \\
&= f(a_1, \ldots,a_d) + \sum_{j=1}^d \frac{\partial f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j} (x_j - a_j) + \frac{1}{2!} \sum_{j=1}^d \sum_{k=1}^d \frac{\partial^2 f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k} (x_j - a_j)(x_k - a_k) \\ 
& \qquad \qquad + \frac{1}{3!} \sum_{j=1}^d\sum_{k=1}^d\sum_{l=1}^d \frac{\partial^3 f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k \partial x_l} (x_j - a_j)(x_k - a_k)(x_l - a_l) + \cdots
\end{align}</math>
</small>
<small>
على سبيل المثال، بالنسبة للدالة <math>f(x,y)</math> التي تعتمد على متغيرين {{mvar|x}} و {{mvar|y}}، متسلسلة تايلور إلى غاية الدرجة الثانية حول النقطة {{تعبير رياضي|(''a'', ''b'')}} هي:
: <math>f(a,b) +(x-a) f_x(a,b) +(y-b) f_y(a,b) + \frac{1}{2!}\Big( (x-a)^2 f_{xx}(a,b) + 2(x-a)(y-b) f_{xy}(a,b) +(y-b)^2 f_{yy}(a,b) \Big)</math>
</small>
حيث تشير الأدلة السفلية إلى [[مشتق جزئي|المشتقات الجزئية]] للدالة.

=== متسلسلة تايلور من الدرجة الثانية لدالة متعددة المتغيرات ===
يمكن كتابة متسلسلة تايلور من الدرجة الثانية لدالة ذات قيمة [[حقل سلمي|سُلَّمية]] لأكثر من متغير بإحكام:<ref>{{استشهاد مختصر|Binmore|2001|ص=171|لغة=en}}</ref>
: <math>T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + (\mathbf{x} - \mathbf{a})^\mathsf{T} D f(\mathbf{a}) + \frac{1}{2!} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^\mathsf{T} \left \{D^2 f(\mathbf{a}) \right \} (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots</math>
حيث {{تعبير رياضي|''D'' ''f'' ('''a''')}} هو [[تدرج (رياضيات)|تدرج]] {{mvar|f}} مُقيّمة عند {{تعبير رياضي|'''x''' {{=}} '''a'''}} و {{تعبير رياضي|''D''<sup>2</sup> ''f'' ('''a''')}} هي [[مصفوفة هيسية]]. بتطبيق [[تدوين متعدد الأدلة|التدوين المتعدد الأدلة]]، تصبح متسلسلة تايلور لمتعدد المتغيرات:
: <math>T(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \geq 0}\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{a})^\alpha}{\alpha !} \left({\mathrm{\partial}^{\alpha}}f\right)(\mathbf{a}),</math>
والتي يجب أن تُفهم على أنها نسخة متعددة الأدلة أكثر اختصارًا للمعادلة الأولى لهذه الفقرة، مع تشابه تام مع متسلسلة الدالة وحيدة المتغير.

=== المثال ===
من أجل حساب متسلسلة تايلور من الدرجة الثانية حول النقطة {{تعبير رياضي|(''a'', ''b'') {{=}} (0, 0)}} للدالة:[[ملف:Second_Order_Taylor.svg|تصغير|200x200بك|تقريب الدالة {{تعبير رياضي|''f'' (''x'',''y'') {{=}} ''e<sup>x</sup>'' ln(1 + ''y'')}} بمتسلسلة تايلور من الدرجة الثانية (بالبرتقالي) حول الأصل.]]
: <math>f(x,y)=e^x\ln(1+y)</math>
نحسب أولاً جميع المشتقات الجزئية الضرورية:

: <math>\begin{align}
f_x &= e^x\ln(1+y) \\[6pt]
f_y &= \frac{e^x}{1+y} \\[6pt]
f_{xx} &= e^x\ln(1+y) \\[6pt]
f_{yy}  &= - \frac{e^x}{(1+y)^2}  \\[6pt]
f_{xy} &=f_{yx} =  \frac{e^x}{1+y}
\end{align}</math>
يعطي تقييم هذه المشتقات عند [[أصل (رياضيات)|الأصل]] معاملات تايلور التالية:

: <math>\begin{align}
f_x(0,0) &= 0 \\
f_y(0,0) &=1 \\
f_{xx}(0,0) &=0 \\
f_{yy}(0,0) &=-1 \\
f_{xy}(0,0) &=f_{yx}(0,0)=1
\end{align}</math>

تعويض هذه القيم بالصيغة العامة:

: <math>\begin{align}
T(x,y) = &f(a,b) +(x-a) f_x(a,b) +(y-b) f_y(a,b) 
\\ &{}+\frac{1}{2!}\left( (x-a)^2f_{xx}(a,b) 
+ 2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b) +(y-b)^2 f_{yy}(a,b) \right)+ \cdots
\end{align}</math>

تنتج:

: <math>\begin{align}
T(x,y) &= 0 + 0(x-0) + 1(y-0) + \frac{1}{2}\big( 0(x-0)^2 + 2(x-0)(y-0) + (-1)(y-0)^2 \big) + \cdots \\
&= y + xy - \tfrac12 y^2 + \cdots 
\end{align}</math>

بما أن {{تعبير رياضي|ln(1 + ''y'')}} تحليلية عند {{تعبير رياضي|{{قيمة مطلقة|''y''}} < 1}}، لدينا:

: <math>e^x\ln(1+y)= y + xy - \tfrac12 y^2 + \cdots, \qquad |y| < 1</math>

== المقارنة بمتسلسلة فورييه ==
{{مفصلة|متسلسلة فورييه}}
تُمكِّن [[متسلسلة فورييه]] المثلثية من التعبير عن [[دالة دورية]] (أو دالة معرفة على [[مجال فاصل (رياضيات)|فترة]] مغلقة {{تعبير رياضي|[a,b]}}) على شكل مجموع لانهائي من [[دوال مثلثية|الدوال المثلثية]] ([[جيب (رياضيات)|الجيب]] و[[جيب التمام]]). وبهذا المعنى، فإن متسلسلة فورييه مماثلة لمتسلسلة تايلور، لأن الأخيرة تسمح بتعبير عن دالة مجموعًا لانهائيًّأ من [[رفع (رياضيات)|الأسس]]. ومع ذلك، تختلف المتسلسلتان عن بعضهما البعض في العديد من القضايا ذات الصلة:

* التدويرات المحدودة لمتسلسلة تايلور للدالة {{تعبير رياضي|f (x)}} حول النقطة {{تعبير رياضي|x {{=}} a}} كلها تساوي تمامًا {{تعبير رياضي|f}} عند {{تعبير رياضي|a}}. على النقيض من ذلك، تُحسب متسلسلة فورييه [[تكامل|بمكاملة]] على فترة كاملة، لذلك لا توجد عمومًا أية نقطة حيث تكون جميع التدويرات المحدودة للمتسلسلة دقيقة.<ref>{{استشهاد مختصر|Singh|2006|ص=22-23|لغة=en}}</ref>
* يتطلب حساب متسلسلة تايلور معرفة الدالة في [[جوار (رياضيات)|جوار]] صغير اختياري من نقطة، في حين أن حساب متسلسلة فورييه يتطلب معرفة الدالة في كامل مجالها. بمعنى ما يمكن القول أن متسلسلة تايلور "محلية" ومتسلسلة فورييه "عامة".<ref name=":7">{{استشهاد مختصر|Babu|2014|ص=1-8|لغة=en}}</ref>
* تُعَرَّف متسلسلة تايلور لدالة لها العديد من المشتقات اللانهائية عند نقطة واحدة، بينما تُعَرَّف متسلسلة فورييه لأي دالة قابلة للتكامل. على وجه الخصوص، لا يمكن أن تكون الدالة دائمًا قابلة للاشتقاق في أي مكان. (على سبيل المثال، يمكن أن تكون {{تعبير رياضي|f (x)}} [[دالة فايرشتراس]].)<ref name=":7" />
* تقارب كلتا المتسلسلتين له خصائص مختلفة جدًا. حتى إذا كانت متسلسلة تايلور لها [[نصف قطر التقارب|نصف قطر تقارب]] موجب، فقد لا تتوافق المتسلسلة الناتجة مع الدالة؛ ولكن إذا كانت الدالة تحليلية، فإن المتسلسلة [[تقارب نقطة بنقطة|تتقارب نقطة بنقطة]] نحو الدالة، [[تقارب منتظم|وبشكل منتظم]] في كل [[مجموعة جزئية]] متراصة من فترة التقارب. فيما يتعلق بسلسلة فورييه، إذا كانت [[دالة كمولة تربيعيا|الدالة قابلة للتكامل تربيعيا،]] فإن المتسلسلة تتقارب في متوسط تربيعي، ولكن هناك حاجة إلى متطلبات إضافية لضمان التقارب النقطي أو المنتظم (على سبيل المثال، إذا كانت الدالة دورية ومن الصنف C<sup>1</sup>، فإن التقارب يكون منتظمًا).<ref>{{استشهاد مختصر|Howell|2001|ص=402|لغة=en}}</ref>
* أخيرًا، من الناحية العملية، يريد الشخص تقريب الدالة بعدد محدود من الحدود، على سبيل المثال بكثير الحدود لتايلور أو مجموع جزئي للمتسلسلة المثلثية، على الترتيب. في حالة متسلسلة تايلور، يكون الخطأ صغيرًا جدًا في جوار النقطة التي يُحسب فيها، في حين أنه قد يكون كبيرًا جدًا في نقطة بعيدة. في حالة متسلسلة فورييه، يتوزع الخطأ على طول مجال الدالة.

== ملحق: مسرد المصطلحات الإنجليزية ==
<center>
{| class="mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align: center;"
| colspan="2" rowspan="1" |{{خط/أميري|مَسرد المفردات وفق الترتيب الأبجدي}} الإنجليزي
|-
| colspan="2" |A
|-
|جمع
|Addition
|-
|معادلة جبرية
|Algebraic equation
|-
|دالة تحليلية
|Analytic function
|-
|تقريب
|Approximation
|-
|قوس القاطع
|Arcsecant
|-
|مدخل
|Argument
|-
|قوس الظل
|Arctangent
|-
| colspan="2" |B
|-
|عدد برنولي
|Bernoulli number
|-
|دالة بيسل
|Bessel function
|-
|تدوين O الكبير
|Big O notation
|-
|معاملات ثنائي الحد
|Binomial coefficient
|-
|متسلسلة ثنائي الحد
|Binomial series
|-
|توطئة بوريل
|Borel's lemma
|-
| colspan="2" |C
|-
|حساب التفاضل والتكامل
|Calculus
|-
|شكل تشيبيشيف
|Chebyshev form
|-
|صنف
|Class
|-
|خوارزمية كلنشو
|Clenshaw algorithm
|-
|معامل
|Coefficient
|-
|مجموعة متراصة
|Compact set
|-
|تكامل إهليلجي تام من النوع الأول/الثاني
|Complete elliptic integral of the first/second kind
|-
|تحليل مركب
|Complex analysis
|-
|دالة مركبة
|Complex function
|-
|عدد مركب
|Complex number
|-
|مستوي مركب
|Complex plane
|-
|دالة ذات قيم مركبة
|Complex-valued function
|-
|نظام الجبر الحاسوبي
|Computer algebra system
|-
|دالة مستمرة
|Continuous function
|-
|متسلسلة متقاربة
|Convergent series
|-
| colspan="2" |D
|-
|درجة
|Degree
|-
|مقام
|Denominator
|-
|مشتق
|Derivative
|-
|فرق
|Difference
|-
|دالة قابل للاشتقاق/التفاضل
|Differentiable function
|-
|تفاضل
|Differential
|-
|معادلة تفاضلية
|Differential equation
|-
|قرص
|Disk
|-
|متسلسلة متباعدة
|Divergent series
|-
|قسمة
|Division
|-
|مجال دالة
|Domain of a function
|-
| colspan="2" |E
|-
| rowspan="1" |دالة صحيحة
|Entire function
|-
|خطأ
|Error
|-
|صيغة أويلر
|Euler's formula
|-
|زوجي
|Even (function or number)
|-
|نشر/فك
|Expansion
|-
|دالة أسية
|Exponential function
|-
| colspan="2" |F
|-
|عاملي عدد
|Factorial of a number
|-
|فرق محدود
|Finite difference
|-
|التحليل الشكلي
|Formal analysis
|-
|متسلسلة فورييه
|Fourier series
|-
|فضاء فريشيه
|Fréchet space
|-
| colspan="2" |G
|-
|متسلسلة هندسية
|Geometric series
|-
|تدرج
|Gradient
|-
|تمثيل بياني لدالة
|Graph of a function
|-
|دالة غودرمانية
|Gudermannian function
|-
| colspan="2" |H
|-
|تحليل توافقي
|Harmonic analysis
|-
|مصفوفة هيسية
|Hessian Matrix
|-
|دالة هولومورفية
|Holomorphic function
|-
|دوال زائدية
|Hyperbolic functions
|-
|ظل زائدي
|Hyperbolic tangent
|-
| colspan="2" |I
|-
|محور تخيلي
|Imaginary axis
|-
|عدد صحيح
|Integer number
|-
|تكامل
|Integral
|-
|تكامل/مكاملة
|Integration
|-
|تكامل بالتجزئة
|Integration by parts
|-
|فترة
|Interval
|-
|دالة عكسية
|Inverse function
|-
| colspan="2" |L
|-
|متسلسلة لوران
|Laurent series
|-
|دالة خي للوجندر
|Legendre chi function
|-
|نهاية دالة
|Limit of a function
|-
|مستقيم
|Line
|-
| colspan="2" |M
|-
|متسلسلة ماكلورين
|Maclaurin series
|-
|مصفوفة
|Matrix
|-
|مجموعة هزيلة
|Meagre (meager) set
|-
|طريقة استنفاد
|Method of exhaustion
|-
|دالة ميرومورفية
|Meromorphic function
|-
|تدوين متعدد الأدلة
|Multi-index notation
|-
|ضرب
|Multiplication
|-
| colspan="2" |N
|-
|لوغاريتم طبيعي
|Natural logarithm
|-
|جوار
|Neighbourhood 
|-
|بسط
|Numerator
|-
| colspan="2" |O
|-
|فردي
|Odd (function or number)
|-
|نقطة الأصل
|Origin
|-
|عملية
|Operation
|-
|مؤثر
|Operator
|-
| colspan="2" |P
|-
|مفارقة
|Paradox
|-
|مجموع جزئي
|Partial sum
|-
|تقارب نقطة بنقطة
|Pointwise convergence
|-
|متعدد اللوغاريتمات
|Polylogarithm
|-
|كثير الحدود
|Polynomial
|-
|أس/قوة
|Power
|-
|متسلسلة قوى
|Power series
|-
|حاصل ضرب/جداء
|Product
|-
| colspan="2" |Q
|-
|تربيع (منحنيات)
|Quadrature
|-
| colspan="2" |R
|-
|نسبة
|Ratio
|-
|نصف قطر التقارب
|Radius of convergence
|-
|دالة كسرية
|Rational function
|-
|عدد كسري/نسبي/ناطق/جذري
|Rational number
|-
|عدد حقيقي
|Real number
|-
|مقلوب
|Reciprocal
|-
|باق 
|Remainder 
|-
|جذر معادلة/جذر دالة
|Root
|-
|مُدوَّر
|Round/truncated
|-
| colspan="2" |S
|-
|سُلَّمي
|Scalar
|-
|قاطع زاوية
|Secant of an angle
|-
|متتالية
|Sequence
|-
|تدوين سيغما
|Sigma notation
|-
|نقطة شاذة
|Singularity 
|-
|دالة ملساء
|Smooth function
|-
|دالة مثلثية
|Special functions
|-
|دالة قابل للتكامل تربيعيا
|Square-integrable function
|-
|جذر تربيعي
|Square root
|-
|الديناميكا الحرارية الإحصائية
|Statistical thermodynamics
|-
|مجموعة جزئية
|Subset
|-
|طرح
|Subtraction
|-
|مجموع
|Sum
|-
| colspan="2" |T
|-
|مماس
|Tangent
|-
|ظل زاوية
|Tangent of an angle
|-
|مبرهنة تايلور
|Taylor theorem
|-
|حد (لمعادلة)
|Term
|-
|دالة متسامية
|Transcendental function
|-
|دالة مثلثية
|Trigonometric function
|-
|متسلسلة مثلثية
|Trigonometric series
|-
| colspan="2" |U
|-
|تقارب منتظم
|Uniform convergence
|-
| colspan="2" |V
|-
|متغير
|Variable
|-
| colspan="2" |W
|-
|دالة فايرشتراس
|Weierstrass function
|-
| colspan="2" |Z
|-
|مفارقة زينون
|Zeno's paradoxes
|}
</center>

== انظر أيضًا ==
{{تصنيف كومنز}}
* [[متسلسلة (رياضيات)]]
* [[متتالية]]
* [[متسلسلة فورييه]]
* [[متسلسلة ماكلورين|متسلسلة ماكلورن]]

== الهوامش والملاحظات ==
<references group="ملاحظة" responsive="1"></references>

== المراجع ==
=== فهرس المراجع ===
;بالعربية
{{بداية المراجع}}
{{مراجع|مجموعة=عر}}
{{نهاية المراجع}}
;بالإنكليزية
{{بداية المراجع}}
{{مراجع|محاذاة=نعم}}
{{نهاية المراجع}}
;بالفرنسية
{{بداية المراجع|محاذاة=نعم}}
{{مراجع|مجموعة=fr}}
{{نهاية المراجع}}

=== معلومات الكاملة المراجع ===
;الدوريات <small>(مرتبة حسب سنة النشر ثم اسم المؤلف)</small>
:بالإنكليزية
{{بداية المراجع|2|محاذاة=نعم}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q54269043|مرجع=Feigenbaum1985}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122416469|مرجع=Roy1990}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q54048831|مرجع=Malet1993}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q56067103|مرجع=Dani2012}}
{{نهاية المراجع}}
:بالفرنسية
{{بداية المراجع|محاذاة=نعم}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122764742|مرجع=Whiteside1983}}
{{نهاية المراجع}}
;الكتب <small>(مرتبة حسب سنة النشر ثم اسم المؤلف)</small>
:بالعربية
{{بداية المراجع|2}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q114600477|مرجع=مكتب التنسيق1990}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120333812|مرجع=مجمع القاهرة2000}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q108593221|مرجع=دعبول2018}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122705552|مرجع=يدري2019}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122642210|مرجع=خضيري2020}}
{{نهاية المراجع}}
:بالإنكليزية
{{بداية المراجع|2|محاذاة=نعم}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q42191653|مرجع=Turnbull1939}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122474906|مرجع=Hille1957}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122443198|مرجع=Struik1969}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122416676|مرجع=Abramowitz1972}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122473416|مرجع=Holland1973}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q14917272|مرجع=Rudin1980}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q110635241|مرجع=Kline1990}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120867638|مرجع=Boyer1991}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120969870|مرجع=Thomas1995}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122707244|مرجع=Binmore2001}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122640444|مرجع=Howell2001}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q27102399|مرجع=Weisstein2002}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122531778|مرجع=Hormander2003}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122531113|مرجع=Feller2003}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122648416|مرجع=Singh2006}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122416743|مرجع=Lindberg2007}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q56339851|مرجع=Duistermaat2010}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122609529|مرجع=Giaquinta2010}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122613508|مرجع=Taylor2011}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122642097|مرجع=Babu2014}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122609566|مرجع=Wilf2013}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122529709|مرجع=Buhler2018}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122647976|مرجع=Izaac2019}}
{{نهاية المراجع}}
:اللاتينية
{{بداية المراجع|محاذاة=نعم}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122442633|مرجع=Taylor1715}}
{{نهاية المراجع}}
;التقارير
:بالإنكليزية
{{بداية المراجع|محاذاة=نعم}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122474059|مرجع=Lee1970}}
{{نهاية المراجع}}

== الوصلات الخارجية ==
* [https://myweb.uiowa.edu/pbreheny/7110/wiki/taylor-series.html مفكوك سلسلة تايلور من جامعة إيوا]
{{تحليل رياضي}}
{{متسلسلات (رياضيات)}}
{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات}}
{{شريط محتوى متميز|1=جيدة|التاريخ=26 نوفمبر 2023|النسخة=65352960|تاريخ مراجعة الزملاء=24 سبتمبر 2023}}

[[تصنيف:تحليل حقيقي]]
[[تصنيف:تحليل مركب]]
[[تصنيف:مبرهنات في حساب التفاضل والتكامل]]
[[تصنيف:متسلسلات]]