عرض مصدر مبرهنة ليندمان-فايرشتراس

{{عن|مبرهنة ليندمان فايرستراس||مبرهنة فايرستراس (توضيح)}}{{شريط جانبي الثابت باي}}

في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''مبرهنة ليندمان-فايرشتراس''' {{إنج|Lindemann–Weierstrass theorem}} هي نتيجة كثيرة النفع في إثبات [[عدد متسام|تسامي]] عدد ما من عدمه.<ref>{{استشهاد ويب| مسار = http://mathworld.wolfram.com/Lindemann-WeierstrassTheorem.html | عنوان = معلومات عن مبرهنة ليندمان-ويرستراس على موقع mathworld.wolfram.com | ناشر = mathworld.wolfram.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190821202438/http://mathworld.wolfram.com/Lindemann-WeierstrassTheorem.html | تاريخ أرشيف = 21 أغسطس 2019 }}</ref>

سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات [[فيردينوند فون ليندمان]] و [[كارل فايرشتراس]].

== البرهان ==
ظهر أول برهان على تسامي العدد <nowiki/>[[ه (رياضيات)|e]] سنة <nowiki/>[[1873]]. سنتبع هنا طريقة <nowiki/>[[ديفيد هيلبرت]] ([[1862]] - <nowiki/>[[1943]]) والذي بسط البرهان الأصلي <nowiki/>[[شارل آرميت|لتشارلز هيرمت]]. الفكرة هي كالتالي:

نفترض أن العدد [[E]] هو [[عدد جبري]]، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد [[مجموعة منتهية]] من المعاملات الصحيحة <math>c_{0},c_{1},\ldots,c_{n}\,</math> التي تحقق المعادلة:
: <math>c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots+c_{n}e^{n}=0\,</math>
بحيث يكون كلا العددان <math>c_0</math> و<math>c_n</math> مخالفين للصفر.

نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n.

نضرب [[طرفا معادلة|طرفي المعادلة]] بـ <math>\int^{\infty}_{0}\,</math>، في حين سنستعمل الترميز التالي <math>\int^{b}_{a}\,</math> كاختصار <nowiki/>[[تكامل|للتكامل]]:
: <math>\int^{b}_{a} =\int^{b}_{a}x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k+1}e^{-x}\,dx\,</math>.
سنصل إلى المعادلة:
: <math>c_{0}\int^{\infty}_{0}+c_{1}e\int^{\infty}_{0}+\cdots+c_{n}e^{n}\int^{\infty}_{0} = 0\,</math>
والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:
: <math>P_{1}+P_{2}=0\,</math>
حيث
: <math>P_{1}=c_{0}\int^{\infty}_{0}+c_{1}e\int^{\infty}_{1}+c_{2}e^{2}\int^{\infty}_{2}+\cdots+c_{n}e^{n}\int^{\infty}_{n}\,</math>
: <math>P_{2}=c_{1}e\int^{1}_{0}+c_{2}e^{2}\int^{2}_{0}+\cdots+c_{n}e^{n}\int^{n}_{0}\,</math>
الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن :<math>\frac{P_{1}}{k!}\,</math> هو [[عدد صحيح]] يخالف الصفر، في حين العدد <math>\frac{P_{2}}{k!}\,</math> ليس كذلك.

والسبب في أن <math>\frac{P_{1}}{k!}\,</math> عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:
: <math>\int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx=j!\,</math>
وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق <nowiki/>[[تكامل بالتجزئة|مكاملة بالأجزاء]].

ولكي نبرهن على أن:
: <math>\left|\frac{P_{2}}{k!}\right|<1\,</math> من أجل k كبير بما يكفي
نشير أولا إلى أن <math>x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k+1}e^{-x}\,</math> هو جداء الدوال <math>[x(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k}\,</math> و<math>(x-1)(x-2)\cdots(x-n)e^{-x}\,</math>. وباستعمال المحد العلوي لـ <math>|x(x-1)(x-2)\cdots(x-n)|\,</math> و<math>|(x-1)(x-2)\cdots(x-n)e^{-x}|\,</math> على المجال <math>[n,0]</math> وبما أن:
: <math>\lim_{k\to\infty}\frac{G^k}{k!}=0\,</math> لكل <nowiki/>[[عدد حقيقي]] G.
وهذا كاف لإكمال البرهان.

يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.

== مراجع ==

{{مراجع}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}

[[تصنيف:أعداد متسامية]]
[[تصنيف:باي]]
[[تصنيف:مبرهنات في نظرية الأعداد]]
[[تصنيف:مقالات تحوي براهين]]
[[تصنيف:ه (رياضيات)]]