عرض مصدر مؤشر أويلر

{{عن|3=مؤشر (توضيح)}}
[[ملف:EulerPhi.svg|400px|تصغير|يسار|القيم الألف الأولى ل (φ(n]]

في [[نظرية الأعداد]]، '''مؤشر أويلر''' {{إنج|Euler's totient function}} هو [[دالة]] معرفة على مجموعة [[عدد طبيعي|الأعداد الطبيعية]].<ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://www.britannica.com/science/Euler-phi-function | عنوان = معلومات عن مؤشر أويلر على موقع britannica.com | ناشر = britannica.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20150912065456/http://www.britannica.com/topic/Euler-phi-function | تاريخ أرشيف = 12 سبتمبر 2015 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = http://mathworld.wolfram.com/TotientFunction.html | عنوان = معلومات عن مؤشر أويلر على موقع mathworld.wolfram.com | ناشر = mathworld.wolfram.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190713033334/http://mathworld.wolfram.com/TotientFunction.html | تاريخ أرشيف = 13 يوليو 2019 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://oeis.org/A000010 | عنوان = معلومات عن مؤشر أويلر على موقع oeis.org | ناشر = oeis.org| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190307000651/http://oeis.org/A000010 | تاريخ أرشيف = 7 مارس 2019 }}</ref> تستعمل في [[رياضيات بحتة|الرياضيات الخالصة]] وفي [[نظرية المجموعات]] وفي [[نظرية الأعداد الجبرية]] وفي [[نظرية الأعداد التحليلية]]. في [[رياضيات تطبيقية|الرياضيات التطبيقية]]، مروراً ب[[حسابيات معيارية|الحسابيات التوافقية]]، تلعب دوراً مهماً في [[نظرية المعلومات]] وخاصة في [[علم التعمية|التشفير]].
وتسمى '''دالة فاي لأويلر''' أو ببساطة '''دالة فاي'''، لأن الحرف '''[[في (حرف يوناني)|φ]]''' مستعمل للإشارة لهذه الدالة.

وتحمل اسم الرياضي السوسري [[ليونهارت أويلر|أويلر]] <small>([[1707]] - [[1783]])</small> الذي كان أول من درسها.

* '''مؤشر أويلر''' φ هي دالة من مجموعة الأعداد الطبيعية نحو نفس المجموعة، حيث صورة ''n'' بالدالة هو عدد الأعداد الأصغر من ''n'' و[[أولية نسبيا|الأولية مع]] ''n''.

مثلا، φ(8) = 4 لأن الأعداد [[1 (عدد)|1]]، [[3 (عدد)|3]]، [[5 (عدد)|5]] و[[7 (عدد)|7]] أولية مع [[8 (عدد)|8]].

'''دالة أويلر''' هي دالة جدائية أو ضربية أي أنه إذا كان '''m و n أوليين فيما بينهما، إذا:''' <math>\varphi(mn)=\varphi(m)\cdot \varphi(n)</math>

== التاريخ والتسمية والرمز المستعل ==
أبدع [[ليونهارت أويلر]] هذه الدالة عام 1763م ''و مع ذلك'' في ذلك الوقت لم يقم '''أويلر''' بإختيار أي رمز للدلالة عليها. في منشور عام 1784، درس أويلر هذه الدالة بشكل أكبر، واختار الحرف اليوناني <math>\pi</math> للدلالة عليها: كتب <math>\pi D</math> لـ «عدد الأعداد الأقل من D ، والتي ليس لها قاسم مشترك معها».

يختلف هذا التعريف عن التعريف الحالي للدالة الكلية عند D = 1 ولكنه بخلاف ذلك هو نفسه. التدوين القياسي الحالي (φ(A يأتي من أطروحة غاوس [[استفسارات حسابية (كتاب)|استفسارات حسابية]] والتي نشرت عام 1801. على الرغم من أن غاوس لم يستخدم الأقواس حول المتغير وكتب φA. بالتالي، غالبًا ما تسمى دالة فاي لأويلر أو ببساطة دالة فاي.

== حساب دالة أويلر ==
:<math>\varphi(n) =n \prod_{p\mid n} \left(1-\frac{1}{p}\right),</math>
حيث يمتد هذا الجداء على القواسم [[عدد أولي|الأولية]] المختلفة الواحد منهم عن الآخر.

=== مثال ===
:<math>\varphi(36)=\varphi\left(2^2 3^2\right)=36\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)=36\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=12.</math>
:
:'''<big>قيمة دالة أويلر للعدد أولي</big>'''
:<math>\varphi(p)= p-1</math> حيث '''p''' عدد أولي، ودالة أويلر تأخذ هذه القيمة لكل الأعداد الأولية، والسبب يرجع لأن كل الأعداد الأصغر قطعا من '''p''' هي اولية مع '''p.'''
'''<big>مثال</big>'''

<math>\varphi(19)=19-1=18</math>، لأن '''19''' عدد أولي.

'''<big>قيمة دالة أويلر للقوة عدد أولي (أس)</big>'''

<math>\varphi(p^n)=p^n-p^{n-1}</math>، حيث '''p''' عدد أولي و '''n''' عدد صحيح موجب.

'''<big>مثال</big>'''

<math>\varphi(7^3)=7^3-7^{3-1}=343-49=294</math>.

'''<big>برهان لصيغة جداء أويلر</big>'''

تنص المبرهنة الأساسية في الحسابيات على أنه إذا كان ''n'' > 1 فإنه يمكن التعبير على ''n'' عبر جداء من الأعداد الأولية <math>n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r}</math>، بما أن مؤشر أويلر هي دالة جدائية، لدينا

<math>\begin{array} {rcl}
\varphi(n)&=& \varphi(p_1^{k_1})\, \varphi(p_2^{k_2}) 
\cdots\varphi(p_r^{k_r})\\[.1em]
&=& p_1^{k_1-1} (p_1-1)\, p_2^{k_2-1} (p_2-1) \cdots p_r^{k_r-1}(p_r-1)\\[.1em]
&=& p_1^{k_1} \left(1- \frac{1}{p_1} \right) p_2^{k_2} \left(1- \frac{1}{p_2} \right) \cdots p_r^{k_r}\left(1- \frac{1}{p_r} \right)\\[.1em]
&=& p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r} \left(1- \frac{1}{p_1} \right) \left(1- \frac{1}{p_2} \right) \cdots \left(1- \frac{1}{p_r} \right)\\[.1em]
&=&n \left(1- \frac{1}{p_1} \right)\left(1- \frac{1}{p_2} \right) \cdots\left(1- \frac{1}{p_r} \right).
\end{array}</math>

== بعض من قيم الدالة ==
[[ملف:EulerPhi100.svg|تصغير|بيان لمائة قيمة الأولى لدالة مؤشر أويلر]]
:{| class="wikitable" style="text-align: right"
|+{{تعبير رياضي|''φ''(''n'')}} for {{تعبير رياضي|1 ≤ ''n'' ≤ 143}}
! +
! 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11
|-
! 0
| {{غ/م}} || 1 || 1 || 2 || 2 || 4 || 2 || 6 || 4 || 6 || 4 || 10
|-
! 12
| 4 || 12 || 6 || 8 || 8 || 16 || 6 || 18 || 8 || 12 || 10 || 22
|-
! 24
| 8 || 20 || 12 || 18 || 12 || 28 || 8 || 30 || 16 || 20 || 16 || 24
|-
! 36
| 12 || 36 || 18 || 24 || 16 || 40 || 12 || 42 || 20 || 24 || 22 || 46
|-
! 48
| 16 || 42 || 20 || 32 || 24 || 52 || 18 || 40 || 24 || 36 || 28 || 58
|-
! 60
| 16 || 60 || 30 || 36 || 32 || 48 || 20 || 66 || 32 || 44 || 24 || 70
|-
! 72
| 24 || 72 || 36 || 40 || 36 || 60 || 24 || 78 || 32 || 54 || 40 || 82
|-
! 84
| 24 || 64 || 42 || 56 || 40 || 88 || 24 || 72 || 44 || 60 || 46 || 72
|-
! 96
| 32 || 96 || 42 || 60 || 40 || 100 || 32 || 102 || 48 || 48 || 52 || 106
|-
! 108
| 36 || 108 || 40 || 72 || 48 || 112 || 36 || 88 || 56 || 72 || 58 || 96
|-
! 120
| 32 || 110 || 60 || 80 || 60 || 100 || 36 || 126 || 64 || 84 || 48 || 130
|-
! 132
| 40 || 108 || 66 || 72 || 64 || 136 || 44 || 138 || 48 || 92 || 70 || 120
|}

على سبيل المثال، العدد الذي يقع في تقاطع العمود الذي يحمل رقم 5 مع الخط الذي يحمل العدد 132 هو 136. سبب ذلك هو ما يلي:
:<math>\varphi(132+5)=\varphi(137)=136</math>. ويعود كون <math>\varphi(137)</math> تصغر بواحد 137 إلى كون العدد 137 أوليا.

== مبرهنة أويلر ==
{{مفصلة|مبرهنة أويلر}}
تنص هذه المبرهنة على أنه إذا كان a و n عددين طبيعيين أوليين فيما بينهما، فإن:

:<math> a^{\varphi(n)} \equiv 1\mod n.\,</math>
الحالة الخاصة من هذه المبرهنة حينما يكون n أوليا تعرف باسم [[مبرهنة فيرما الصغرى]].

انظر إلى [[مبرهنة لاغرانج (نظرية الزمر)]]

== صيغ أخرى تحتوي على مؤشر أويلر ==

* <math>a\mid b \implies \varphi(a)\mid\varphi(b)</math>
* <math> n \mid \varphi(a^n-1) \quad \text{for } a,n > 1</math>
* <math>\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)\cdot\frac{d}{\varphi(d)} \quad</math> بحيث <math>d = \operatorname{gcd}(m,n)</math>
* <math>\varphi(2m) = \begin{cases}
2\varphi(m) &\text{ if } m \text{ is even} \\
\varphi(m) &\text{ if } m \text{ is odd}
\end{cases}</math>
* <math>\varphi\left(n^m\right) = n^{m-1}\varphi(n)</math>
* <math>\sum_{d \mid n} \frac{\mu^2(d)}{\varphi(d)} = \frac{n}{\varphi(n)}</math>
* <math>\sum_{1\le k\le n \atop (k,n)=1}\!\!k = \tfrac12 n\varphi(n) \quad \text{for }n>1</math>
* <math>\sum_{k=1}^n\varphi(k) = \tfrac12 \left(1+ \sum_{k=1}^n \mu(k)\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor^2\right)
=\frac3{\pi^2}n^2+O\left(n(\log n)^\frac23(\log\log n)^\frac43\right)</math>
* <math>\sum_{k=1}^n\frac{\varphi(k)}{k} = \sum_{k=1}^n\frac{\mu(k)}{k}\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor=\frac6{\pi^2}n+O\left((\log n)^\frac23(\log\log n)^\frac43\right)</math>
'''<big>خاصية مينون</big>'''

في عام 1965 أثبت كيسافا مينون أن

<math>\sum_{\stackrel{1\le k\le n}{ \gcd(k,n)=1}} \!\!\!\! \gcd(k-1,n)=\varphi(n)d(n),</math>

بحيث <math>d(n)</math> هو عدد قواسم العدد <math>.n</math>

== معضلات غير محلولة ==

=== حدسية ليهمر ===
{{مفصلة|معضلة مؤشر ليهمر}}
إذا كان p [[عدد أولي|عددا أوليا]]، فإن {{تعبير رياضي|''φ''(''p'') {{=}} ''p'' − 1}}. في عام 1932، طرح [[ديريك هنري ليهمر]] السؤال التالي: ''هل هناك من عدد طبيعي n مؤلف (أي غير أولي)، حيث {{تعبير رياضي|''φ''(''n'') }} يقسم n -1 ؟ '' لا يعلم حاليا أي جواب على هذا السؤال.

في عام 1933، برهن على أنه إذا كان هذا العدد موجودا، فإنه حتما، فردي وخال من المربعات، وقابل للقسمة على سبعة أعداد أولية على الأقل (أي أن {{تعبير رياضي|''ω''(''n'') ≥ 7}}).

=== حدسية كارميكائيل ===
انظر إلى [[حدسية دالة المؤشر لكارميكائيل]].

=== فرضية ريمان ===
:<math>\frac{n}{\varphi (n)}<e^\gamma \log\log n+\frac{e^\gamma (4+\gamma-\log 4\pi)}{\sqrt{\log n}}</math>

* [[دالث بسي لديدكايند]]

== انظر أيضًا ==
* [[مبرهنة فيرما الصغرى#تعميمات|تعميمات مبرهنة فيرما الصغرى]]
* [[دالة المؤشر لكارميكائيل]]
* [[عدد مؤلف للغاية]]
* [[مجموع رامانجن]]

== مراجع ==
{{مراجع}}

== وصلات خارجية ==

* Schneider, Robert P. [http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1109/1109.3216.pdf عدد من المتطابقات المهمة في نظرية الأعداد] (باللغة الإنجليزية).
* [https://youtu.be/PIwumIcJcII دالة فاي لـ «أويلر»]
{{شريط بوابات|رياضيات|تعمية|نظرية الأعداد}}
{{روابط شقيقة|commons=Totient function}}

[[تصنيف:جبر]]
[[تصنيف:حسابيات]]
[[تصنيف:حسابيات نمطية]]
[[تصنيف:دوال جدائية]]
[[تصنيف:ليونهارت أويلر]]
[[تصنيف:مقالات تحوي براهين]]
[[تصنيف:نظرية الأعداد]]