عرض مصدر البرهان على أن e عدد غير كسري

{{لا مصدر|تاريخ=ديسمبر 2018}}
{{ه (ثابت رياضي)}}

في [[رياضيات|الرياضيات]]، [[متسلسلة (رياضيات)|التمثيل بمتسلسلة]] لعدد أويلر [[ه (رياضيات)|e]] يأتي كما يلي:

: <math>e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}\!</math>

اكتشف هذا العددَ عالمُ الرياضيات السويسري [[ياكوب برنولي]] في عام 1683. خمسون سنة بعد ذلك، برهن [[أويلر]]، والذي كان تلميذا لأخ ياكوب الأصغر [[يوهان برنولي]]، على أن e [[عدد غير كسري|عدد غير جذري]]، أي أنه لا يمكن يكتب على شكل نسبةً بين عددين صحيحين. 

== برهان أويلر ==
كتب أويلر أول برهان على لا كسرية العدد e في عام 1737، ولكن النص لم ينشر إلا سبع سنوات بعد ذلك. كتب من أجل ذلك e [[كسر مستمر|كسرا مستمرا بسيطا]].

:<math>e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, \ldots, 2n, 1, 1, \ldots]. </math>

== برهان  فورييه ==
البرهان الأكثر شهرة على لا كسرية العدد e هو البرهان الذي جاء به [[جوزيف فورييه]]. هو [[برهان بالتناقض|برهان بالخُلف]]، يعتمد على المتساوية التالية:

: <math>e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}\cdot</math>

:<math>2 = 1 + \tfrac{1}{1!} < e = 1 + \tfrac{1}{1!} + \tfrac{1}{2!} + \tfrac{1}{3!} + \cdots < 1 +  \left (1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2^2} + \tfrac{1}{2^3} + \cdots \right ) = 3.</math>

:<math>x = b!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right).</math>

:<math>x = b!\left (\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right) = a(b - 1)! - \sum_{n = 0}^{b} \frac{b!}{n!}.</math>

== انظر أيضا ==

* [[عدد متسام]] بما في ذلك [[عدد متسام#جزء من برهان على تسامي العدد e|البرهان على أن e عدد متسام]] 
* [[مبرهنة ليندمان-فايرشتراس|مبرهنة ليندمان-ويرستراس]]

{{تصنيف كومنز}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}

{{بذرة رياضيات}}

[[تصنيف:أعداد لا كسرية]]
[[تصنيف:مقالات تحوي براهين رياضية]]
[[تصنيف:ه (رياضيات)]]