عرض مصدر دالة مميزة (نظرية احتمالات)

[[ملف:Sinc simple.svg|إطار|200px|يسار|The characteristic function of a uniform ''U''(–1,1) random variable. This function is real-valued because it corresponds to a random variable that is symmetric around the origin; however in general case characteristic functions may be complex-valued.]]

في [[نظرية الاحتمال]] و[[إحصاء|الإحصاء]]، '''الدالة المميزة''' ل[[متغير عشوائي]] ''X'' [[عدد حقيقي|حقيقي]] هي دالة ذات قيم مركبة معرفة على المجال
<math>\scriptstyle\ \R\ </math> حيث:

<math>\begin{align}
\varphi_{X}(t)&=\mathbb{E}\left[e^{itX}\right]
\\
&=\mathbb{E}\left[\cos (tX)\right]+i\ \mathbb{E}\left[\sin (tX)\right].
\end{align}
</math>

في حالة وجود دالة كثافة احتمالية للمتغير العشوائي ''X'' ، فإن '''الدالة المميزة''' في هذه الحالة هي معكوسة [[تحويل فورييه]] ( بمعامل تقريبي <math>\scriptstyle\ 2\pi \,</math> ) لدالة الكثافة.<ref>{{استشهاد بأرخايف|last1=Shaw |first1=W. T. |last2=McCabe |first2=J. |year=2009 |title=Monte Carlo sampling given a Characteristic Function: Quantile Mechanics in Momentum Space |eprint=0903.1592  }}</ref>
(في بعض الأحيان تستعمل هذه الدالة <math>\scriptstyle\ \phi_X(t) = E[e^{2i\pi tX}].</math>)

بشكل أعم، '''الدالة المميزة''' ل[[متغير عشوائي]] [[عدد حقيقي|حقيقي]] معرف على المجال <math>\scriptstyle\ \R^d\ </math>، هي الدالة ذات القيم المركبة المعرفة على المجال <math>\scriptstyle\ \R^d\ </math> بـ :

 
<math>\phi_X(u) = \mathbb{E}\left[e^{i \langle u , X \rangle}\right]\,</math>
أين <math>\scriptstyle\ \langle u , X \rangle\,</math> هو [[جداء نقطي|الجداء القياسي]] لـ ''u'' مع ''X''.

في حالة [[متغير عشوائي|المتغير العشوائي]]''X'' المنفصل، تعرف الدالة المميزة بـ :

<math>G(z)=\mathbb{E}\left[z^X\right]</math>
باعتبار ''z'' [[عدد مركب]]، و نستخلص إذا :

<math>\phi_{X}(t)=G\left(e^{it}\right);</math>
حيث أن الدالة ''G'' هي امتداد لـ <math>\scriptstyle\ \phi_{X}</math>

== خصائص الدالة المميزة ==

* تحدد الدالة المميزة طبيعة [[توزيع احتمال|التوزيع الاحتمالي]] ل[[متغير عشوائي]] في حالة تساوي دالتين، يعني في حالة تساوي دالتين مميزتين <math>\phi_X=\phi_Y\,</math> نستنتج أن للمتغيران <math>X\,</math> et <math>Y\,</math> نفس [[توزيع احتمال|دالة التوزيع الاحتمالي]].
* إذا كان ''X'' و ''Y'' [[متغير عشوائي|متغيران عشوائيان]] مستقلان، إذا <math>\phi_{X+Y}=\phi_{X}\,\phi_{Y}</math>.
بشكل أعم، إذا كان <math>X_1, \ldots, X_n</math> مجموعة من [[متغير عشوائي|المتغيرات العشوائية]] المستقلة عن بعضها البعض، فإن

<math>\phi_{X_1+\cdots+X_n}=\phi_{X_1}\cdots\phi_{X_n}</math>

وبتطبيق معكوسة [[تحويل فورييه]] لـ <math>\phi_{X+Y}</math> نتحصل على [[توزيع احتمال|قانون دالة التوزيع الاحتمالي]] للدالة ''X+Y''

* توجد أيضا علاقة بين '''الدالة المميزة''' و '''دالة العزوم''' ل[[متغير عشوائي]]، ففي حالة وجود '''دالة العزوم''' بالإضافة إلى تقارب المتتالية فإن:

:<math>\phi_X(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^k \mu_k}{k!}t^k</math> أين ''' <math>\mu_k</math> ''' هو عزم ذو درجة k''' '''.

تستعمل هذه العلاقة أحيانا لإيجاد [[متوسط حسابي|المتوسط الحسابي]] (الذي يمثل العزم ذو درجة 1) و[[تباين (توضيح)|التباين]] (الذي يمثل العزم ذو درجة 2) حيث أن:

:<math>1=\phi_X(0),\qquad\mathbb{E}[X]=-i\,\phi^{\prime}_X(0),\qquad\mathbb{E}\left[X^2\right]=-\,\phi^{\prime\prime}_X(0)</math>

:<math>\textrm{Var}(X)=-\,\phi^{\prime\prime}_X(0)+\phi^{\prime 2}_X(0)</math>.

* مثلا العلاقة التالية تستعمل في حساب '''الدالة المميزة''' ل[[متغير عشوائي]] ذو [[توزيع احتمالي طبيعي|توزيع احتمالي طبيعي موسط ومخزل]] :

<math>\phi_{aX+b}(t)=\phi_X(at)\,e^{itb}</math>

== بعض الدوال المميزة المشهورة ==

{|class="wikitable"
|-
! التوزيع الاحتمالي
! الدالة المميزة ''φ(t)''
|-
| [[توزيع ثنائي الحدين|توزيع احتمالي ثنائي]] B(''n, p'')
| &nbsp; <math>\, (1-p+pe^{it})^n</math>
|-
| [[توزيع بواسون]] Pois(''λ'')
| &nbsp; <math>\, e^{\lambda(e^{it}-1)}</math>
|-
| [[توزيع منتظم]] U(''a, b'')
| &nbsp; <math>\, \frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b-a)}</math>
|-
| [[توزيع لابلاس]] L(''μ, b'')
| &nbsp; <math>\, \frac{e^{it\mu}}{1 + b^2t^2}</math>
|-
| [[توزيع احتمالي طبيعي]] ''N''(''μ, σ<sup>2</sup>'')
| &nbsp; <math>\, e^{it\mu - \frac{1}{2}\sigma^2t^2}</math>
|-
| [[توزيع كاي مريع]] χ<sup>2</sup><sub style="position:relative;left:-5pt;top:2pt">k</sub>
| &nbsp; <math>\, (1 - 2it)^{-k/2}</math>
|-
| [[توزيع كوشي]] Cauchy(''μ, θ'')
| &nbsp; <math>\, e^{it\mu -\theta|t|}</math>
|-
| [[توزيع غاما]] Γ(''k, θ'')
| &nbsp; <math>\, (1 - it\theta)^{-k}</math>
|-
| [[توزيع أسي]] Exp(''λ'')
| &nbsp; <math>\, (1 - it\lambda^{-1})^{-1}</math>
|-
| [[توزيع طبيعي متعدد الحدود]] ''N''(''μ'', ''Σ'')
| &nbsp; <math>\, e^{it'\mu - \frac{1}{2}t'\Sigma t}</math>
|-
|}
الجدول أعلاه مقتبس من الجدول الموسع للدوال المميزة ل[[اورهيتينغر]] ( [[1973]] )
== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|رياضيات|إحصاء}}
{{ضبط استنادي}}

[[تصنيف:نظرية الاحتمالات]]