عرض مصدر حساب المصفوفات

في [[رياضيات|الرياضيات]], يكون '''حسبان المصفوفات''' {{إنج|matrix calculus}} عبارة عن [[ترميز]] متخصص للقيام ب[[حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات|حسبان متعدد المتغيرات]], وخصوصاً على فراغات [[مصفوفة (رياضيات)|المصفوفات]], حيث تعرف أيضاً باسم '''تفاضل المصفوفات''' {{إنج|matrix derivative}}.<ref>{{استشهاد بكتاب |مسار=https://www.colorado.edu/engineering/cas/courses.d/IFEM.d/IFEM.AppD.d/IFEM.AppD.pdf |الفصل=Appendix D, Linear Algebra: Determinants, Inverses, Rank |الأول1=Carlos A. |الأخير1=Felippa |عنوان=ASEN 5007: Introduction To Finite Element Methods |ناشر=University of Colorado |مكان=Boulder, Colorado |تاريخ الوصول=5 February 2016| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200414051416/https://www.colorado.edu/engineering/cas/courses.d/IFEM.d/IFEM.AppD.d/IFEM.AppD.pdf | تاريخ أرشيف = 14 أبريل 2020 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب|الأخير=Duchi|الأول=John C|عنوان=Properties of the Trace and Matrix Derivatives|مسار=https://web.stanford.edu/~jduchi/projects/matrix_prop.pdf|ناشر=Stanford University|تاريخ الوصول=5 February 2016| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20161213071958/http://web.stanford.edu/~jduchi/projects/matrix_prop.pdf | تاريخ أرشيف = 13 ديسمبر 2016 }}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|الأخير1=Magnus|الأول1=Jan R.|الأخير2=Neudecker|الأول2=Heinz|عنوان=Matrix differential calculus with applications in statistics and econometrics|مسار=https://archive.org/details/matrixdifferenti00magn_339|تاريخ=1999|ناشر=John Wiley & Sons|مكان=New York|isbn=9780471986331|إصدار=Revised| صفحات=[https://archive.org/details/matrixdifferenti00magn_339/page/n188 171]–173}}</ref> هذا النوع من الترميز مناسب تماماً لوصف أنظمة [[معادلة تفاضلية|المعادلات التفاضلية]], وأيضاً لأخذ [[تفاضل]]ات الدوال ذو القيم المصفوفية وذلك بالنسبة إلى المتغيرات المصفوفية. يُستعمل ذا الترميز عادةً في [[إحصاء|الإحصاء]] وفي [[هندسة رياضية|الهندسة]], بينما يُفضل استعمال [[ترميز مؤشر التينسور]] Tensor index notation في [[فيزياء|الفيزياء]].
== ملاحظة ==
تستعمل هذه المقالة تعريف آخر لحسبان المصفوفات والمتجهات عما هو موجود غالباً ضمن [[مقدر|نظرية المقدرات]] و[[تمييز الأنماط]]. لذلك تظهر المعادلات الناتجة منقولةً مقارنةً بتلك المعادلات التي تُستعمل في الكتب الدراسية ضمن تلك الحقول.
== الترميز ==
فلتكن ''M''(''n'',''m'') هو فضاء المصفوفات ''n×m'' ذو [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]] مع ''n'' صف و''m'' عمود، يُشار إلى المصفوفات عادةً باستعمال حرف لاتيني كبير بخط عليظ مثل: '''A''', و'''X''', و'''Y''', إلخ. يُشار عادةً إلى عنصر ''M''(''n'',1), التي تسمى ب[[متجه عمودي]] column vector, بحرف لاتيني صغير بخط عليظ مثل: '''a''', و'''x''', و'''y''', إلخ. يُشار إلى العنصر ''M''(1,1)، التي تعتبر كمية قيلسية، بحرف لاتيني صغير بخط مائل مثل: ''a'', و''t'', و''x'', إلخ. كما يُشار '''X'''<sup>T</sup> إلى [[نقل]] المصفوفات، و tr('''X''') إلى [[اقتفاء (جبر خطي)|الاقتفاء]], و det('''X''') إلى [[المحددة]]. يُفترض بأن تكون جميع الدوال من [[صنف قابلية المفاضلة]] differentiability class ''C''<sup>1</sup> ما لم يذكر خلاف ذلك. على العموم، تُستخدم نصف الحروف الأولى الأبجدية اللاتينية (a, b, c, …) للإشارة إلى الثوابت، وتُستخدم نصف الحروف الثانية (t, x, y, …) للإشارة إلى المتغيرات.
== حسبان المتجهات ==
{{مفصلة|حسبان المتجهات}}

بما أن فضاء ''M''(''n'',1) تُعرف مع [[فضاء إقليدي|الفضاء الإقليدي]] '''R'''<sup>''n''</sup> وفضاء ''M''(1,1) تُعرف مع '''R''', فأنه يمكن للترميزات المتنامية هنا بأن تستوعب في الغالب عمليات حسبان المتجهات.

<ul>
<li>يكون [[متجه المماس]] للانجناء '''x''' : '''R''' → '''R'''<sup>''n''</sup> هو:<math>\frac{\partial \mathbf{x}} {\partial t} = 
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x_1}{\partial t} \\
\vdots \\
\frac{\partial x_n}{\partial t} \\
\end{bmatrix}.
</math>
</li>

<li>و يكون [[ممال|الممال]] gradient للدالة القياسية ''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''
:<math>\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} = 
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n} \\
\end{bmatrix}.
</math>

إذا، يكون [[المشتقة الإتجاهية]] directional derivative للدالة ''f'' في الإتجاه '''v''' هو:<math>\nabla_\mathbf{v} f = \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}}\mathbf{v}.</math>
</li>

<li>يوصف [[دفع أمامي (تفاضل)|الدفع الأمامي أو التفاضلي]] للدالة '''f''' : '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup> بواسطة [[مصفوفة ياكوبية|مصفوفة جاكوبي]]
:<math>
\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} = 
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_m}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_m}\\
\end{bmatrix}.
</math>
يكون الدفع الأمامي على طول الدالة '''f''' للمتجه '''v''' في الظاء '''R'''<sup>''m''</sup> هو:<math>d\,\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} \mathbf{v}.</math>
</li>
</ul>

== حسبان المصفوفات ==
لغرض تعريف مشتقات الدوال البسيط، لن يكون هناك الكثير من التغيرات في فضاء المصفوفات; ويكون فضاء المصفوفات ذو البعد ''n''×''m'' [[تساوي الشكل|مساوية لشكل]] [[فضاء المتجهات]] '''R'''<sup>''nm''</sup>. لدى الثلاث المشتقات المعروفة في حسبان المتجهات نسخ مشابهة لها هنا، على الرغم من التحذير الموجود في قسم المطابقات الموجود أدناه حول عملية المضاعفة.

<ul>
<li>يكون متجه المماس للانحناء '''F''' : '''R''' → ''M''(''n'',''m'') هو:<math>
\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial t} =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial F_{1,1}}{\partial t} & \cdots & \frac{\partial F_{1,m}}{\partial t}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial F_{n,1}}{\partial t} & \cdots & \frac{\partial F_{n,m}}{\partial t}\\
\end{bmatrix}.
</math>
</li>

<li>و يكون الممال gradient للدالة القياسية ''f'' : ''M''(''n'',''m'') → '''R'''
:<math>
\frac{\partial f}{\partial \mathbf{X}} =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial X_{1,1}} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial X_{n,1}}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f}{\partial X_{1,m}} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial X_{n,m}}\\
\end{bmatrix}.
</math>
لاحظ بأن فهرسة الممال بالنسبة إلى '''X''' هي مصفوفة منقولة بالمقارنة مع فهرسة '''X'''. كما تُعطى المشتقة الإتجاهية للدالة ''f'' في إتجاه المصفوفة '''Y''' بواسطة:<math>\nabla_\mathbf{Y} f = \operatorname{tr} \left(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{X}} \mathbf{Y}\right).</math>

</li>

<li>يكون تفاضل أو المشتقة المصفوفية للدالة '''F''' : ''M''(''n'',''m'') → ''M''(''p'',''q'') هو العنصر ''M''(''p'',''q'') ⊗ ''M''(''m'',''n''), وهو [[موتر|تنسور]] [[موتر#رتبة التنسور|ذو الرتبة الرابعة]] (يشير انعكاس ''m'' و''n'' هنا إلى [[الفضاء الثنائي]] للعنصر ''M''(''n'',''m'')). وباختصار تكون المشتقة المصفوفية لتلك الدالة هي مصفوفة ''m''×''n'' كل عنصراً فيها هو مصفوفة ''p''×''q''.
:<math>\frac{\partial\mathbf{F}} {\partial\mathbf{X}}=
\begin{bmatrix}
\frac{\partial\mathbf{F}}{\partial X_{1,1}} & \cdots & \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial X_{n,1}}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial\mathbf{F}}{\partial X_{1,m}} & \cdots & \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial X_{n,m}}\\
\end{bmatrix},
</math>
و لاحظ بأن كل ∂'''F'''/∂''X''<sub>''i'',''j''</sub> هو عبارة عن مصفوفة ''p''×''q'' كما ذًكر في الأعلى. لاحظ أيضاً بأن لدى هذه المصفوفة مصفوفة منقولة ومفهرسة; ولديها ''m'' صف و''n'' عمود. إذاً, يكون الدفع الأمامي على طول الدالة '''F''' للمصفوفة ''n''×''m'' حيث يكون '''Y''' في ''M''(''n'',''m'') هو:<math>d\mathbf{F}(\mathbf{Y}) = \operatorname{tr}\left(\frac{\partial\mathbf{F}} {\partial\mathbf{X}}\mathbf{Y}\right),</math> مثل مصفوفات السد block Matrix.
لاحظ بأن هذا التعريف يشمل كل التعاريف السابقة حتى الحالات الخاصة.
</li>
</ul>
== مطابقات ==
لاحظ بأن عملية مضاعفة المصفوفات ليست [[عملية تبديلية]], لذلك في هذه المطابقات، يجب أن لا يتغير الترتيب.

<ul>
<li> '''[[قاعدة السلسلة]]:''' إذا كان '''Z''' هو دالة '''Y''' والتي بدورها هي دالة '''X''', وإذا كان جميع تلك الدوال هي متجهات عمودية، إذاً:<math>
\frac{\partial \mathbf{Z}} {\partial \mathbf{X}} = \frac{\partial \mathbf{Z}} {\partial \mathbf{Y}} \frac{\partial \mathbf{Y}} {\partial \mathbf{X}}</math>
</li>

<li>'''[[قاعدة الضرب|قاعدة الجداء]]:''' في جميع الحالات، عندما لا تطبق المشتقات نظرية حواصل ضرب التنسور (على سبيل المثال، لدى'''Y''' أكثر ممن صف واحد ولدى '''X''' أكثر من عمود واحد), يكون:<math>
\frac{\partial (\mathbf{Y}\mathbf{Z})}{\partial \mathbf{X}} = \frac{\partial\mathbf{Y}}{\partial\mathbf{X}}{\mathbf{Z}} + \mathbf{Y}\frac{\partial\mathbf{Z}}{\partial \mathbf{X}}
</math>
</li>
</ul>
== أمثلة ==
=== اشتقاق الدوال الخطية ===
يسرد هذا القسم بعض من أشهر الصيغ التي تستعمل لاشتقاق المتجهات في المعادلات الخطية وذلك بالتعويض في متجه.

:<math>
\frac{\partial \; \textbf{a}^T\textbf{x}}{\partial \; \textbf{x}} = \frac{\partial \; \textbf{x}^T\textbf{a}}{\partial \; \textbf{x}} = \textbf{a}^T
</math>

:<math>
\frac{\partial \; \textbf{A}\textbf{x}}{\partial \; \textbf{x}} = \frac{\partial \; \textbf{x}^T\textbf{A}}{\partial \; \textbf{x}^T} = \textbf{A}
</math>

=== اشتقاق الدوال التربيعية ===
يسرد هذا القسم بعض من أشهر الصيغ التي تستعمل لاشتقاق المتجهات في المعادلات المصفوفية التربيعية وذلك بالتعويض في كمية قياسية.

:<math>
\frac{\partial \; \textbf{x}^T \textbf{A}\textbf{x}}{\partial \; \textbf{x}} = 
\textbf{x}^T(\textbf{A}^T + \textbf{A}) </math>

:<math>
\frac{\partial \; (\textbf{A}\textbf{x} + \textbf{b})^T \textbf{C} (\textbf{D}\textbf{x} + \textbf{e})     }{\partial \; \textbf{x}} =  (\textbf{D}\textbf{x} + \textbf{e})^T \textbf{C}^T \textbf{A} +  (\textbf{A}\textbf{x} + \textbf{b})^T \textbf{C} \textbf{D}</math>

هناك إحدى المشتقات التي لها علاقة بهذا الموضوع وهي مشتقة [[النظيم الأقليدي]] Euclidean norm:

:<math> \frac{\partial \; \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\|}{\partial \; \textbf{x}} =
\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{a})^T}{\|\mathbf{x}-\mathbf{a}\|}. </math>

=== اشتقاق الاقتفاءات المصفوفية ===
يعرض هذا القسم أمثلة عن التفاضل المصفوفي للمعادلات [[اقتفاء (مصفوفة)|الاقتفائية]] الشائعة.
:<math> \frac{\partial \; \operatorname{tr}(\textbf{A} \textbf{X} \textbf{B})}{\partial \; \textbf{X}} = \frac{\partial \; \operatorname{tr}(\textbf{B}^T \textbf{X}^T \textbf{A}^T)}{\partial \; \textbf{X}} = \textbf{B} \textbf{A} 
</math>

:<math> \frac{\partial \; \operatorname{tr}(\textbf{A} \textbf{X} \textbf{B} \textbf{X}^T \textbf{C}) }{\partial \; \textbf{X}} =  \textbf{B} \textbf{X}^T \textbf{C} \textbf{A} + \textbf{B}^T \textbf{X}^T \textbf{A}^T \textbf{C}^T </math>

=== اشتقاق المحددة المصفوفية ===
: <math> \frac{\partial \det\mathbf{X}}{\partial \mathbf{X}}= \operatorname{adj}\,\mathbf{X}= \det\mathbf{X}\cdot \mathbf{X}^{-1}.</math>
== العلاقة مع الاشتقاقات الأخرى ==
هناك تعريفات أخرى تُستعمل للقيام ب[[اشتقاق (توضيح)|الاشتقاقات]] في الفضاء متعدد المتغيرات. فبالنسبة إلى [[فضاء المتجه الطوبولوجي]], يكون الاشتقاق الأكثر شيوعاً هو [[اشتقاق فريشيه]] Fréchet derivative, التي تستعمل [[نظيم (رياضيات)|النظيم]]. وفي حالة فضاء المصفوفات، هناك العديد من [[نظيم مصفوفي|النظيمات المصفوفية]] matrix norms متوفرة، والتي تُعتبر جميعها متكافئة عندما يكون الفضاء محدود الأبعاد. على أية حال، إن الاشتقاق المصفوفي المُعرف في هذه المقالة ليست لها أي فائدة لأي عملية [[فضاء طوبولوجي|طوبولوجية]] في ''M''(''n'',''m''). كما أنها أقتصرت فقط على ناحية [[مشتق جزئي|الاشتقاقات الجزئية]], التي تُعتبر حساسة فقط للتغيرات في بعدٍ واجد في زمنٍ ما، ولذلك فأنها ليست محددة ب[[بنية تفاضلية]] كاملة للفضاء. على سبيل المثال، فأنه من الممكن لخريطة واحدة أن تحوي على جميع الاشتقاقات الجزئية الموجودة في نقطة، إلا أنه لم يعد هذا موجوداً في دراسة طوبولوجيا الفضاء. أنظر [[مبرهنة هارتوغز]] Hartogs' theorem كمثال. إن الاشتقاق المصفوفي ليست حالة خاصة لاشتقاق فريشيه لفضاء المصفوفات، بل أنه ترميز مستقل وأكثر سهولة لتتبع العديد من الاشتقاقات الجزئية للقيام بالحسابات عليها، على الرغم من أن هذه الدالة في هذه الحالة ''تكون'' مفاضلة فريشيه Fréchet differentiable, إلا إن كلا الاسمين يؤديان إلى نفس المعنى.
== استعمالات ==
تُستعمل حسبان المصفوفات لاستنتاج المقدرات العشوائية الأمثلية، وغالباً ما يتضمن على [[مضاعفات لاغرانج]]. وهذا يشمل اشتقاق:
* [[مرشح كالمان]] Kalman filter
* [[مرشح وينر]] Wiener filter
* [[خوارزمية التوقع الأقصى#مثال: الخليط الغاوسي|خوارزمية التوقع الأقصى للخليط الغاوسي]] Expectation-maximization algorithm
== بدائل ==
تُعتبر [[ترميز مؤشر التنسور]] و[[تجميع أينشتاين]] متشابهتين جداً لحسبان المصفوفات، عدا إنها تكتب مركبة واحدة فقط في كل مرة. وتُعتبر هذه إجابية حيث يمكن للمرء يأن يتلاعب بالتنسورات عالية الرتبة اعتباطياً, بينما أن التنسورات ذا الرتبة الأعلى-من-أثنين صعب التلاعب بها بواسطة ترميز المصفوفات. لاحظ بأن المصفوفة يمكن أن تُعتبر تنسوراً بالرتبة الثانية.
== مراجع ==
{{مراجع}}
{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}

[[تصنيف:تفاضل متعدد المتحولات]]
[[تصنيف:جبر خطي]]
[[تصنيف:نظرية المصفوفات]]
[[تصنيف:حساب المتجهات]]