هذه المقالة يتيمة. ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالة متعلقة بها

نظرية نيوتن-كارتان

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

نظرية نيوتن-كارتان أو الجاذبية النيوتونية الهندسية هي إعادة صياغة هندسية، وكذلك تعميم للجاذبية النيوتونية التي تم تقديمها لأول مرة بواسطة إيلي كارتن [1] [2] وكيرت فريدريشس [3] وتم تطويرها لاحقًا بواسطة دوتكور، [4] ديكسون، [5] دومبروفسكي وهورنفير، إيلرز، هافاس، [6] كونزل، [7] لوتيرموسر، تروتمان، [8] وآخرون. في إعادة الصياغة هذه، يمكن رؤية التشابهات الهيكلية بين نظرية نيوتن ونظرية ألبرت أينشتاين العامة للنسبية بسهولة، وقد استخدمها كارتان وفريدريش لإعطاء صيغة صارمة للطريقة التي يمكن من خلالها النظر إلى الجاذبية النيوتونية على أنها حد معين للنسبية العامة، وبواسطة يورغن إيليرز لتوسيع هذه المراسلات إلى حلول محددة للنسبية العامة.

الزمكان الكلاسيكي

في نظرية نيوتن-كارتان، يبدأ المرء بمشعب سلس رباعي الأبعاد M ويحدد اثنين (المنحل) المقاييس. مقياس زمني tab مع الشارة(1,0,0,0)، تستخدم لتعيين أطوال زمنية للمتجهات على M ومقياس مكاني hab مع الشارة (0,1,1,1). يتطلب المرء أيضًا أن يفي هذان المقياسان بالشرط العرضي (أو "التعامد") ، habtbc=0 . وهكذا، يعرّف المرء الزمكان الكلاسيكي بأنه رباعي منظم (M,tab,hab,)، حيث tab و hab كما هو موصوف، عامل مشتق متغاير متوافق مع المقاييس؛ وتفي المقاييس بشرط التعامد. يمكن للمرء أن يقول أن الزمكان الكلاسيكي هو نظير الزمكان النسبي (M,gab)، حيث gab هو مقياس لورنتزي سلس على المشعب M.

الصيغة الهندسية لمعادلة بواسون

في نظرية نيوتن للجاذبية، تقرأ معادلة بواسون

ΔU=4πGρ

حيث U هو جهد الجاذبية، G هو ثابت الجاذبية و ρ هي كثافة الكتلة. يحفز مبدأ التكافؤ الضعيف نسخة هندسية لمعادلة الحركة لجسيم نقطة في الجهدU

mtx¨=mgU

حيث mt هي كتلة القصور الذاتي mg كتلة الجاذبية. منذ ذلك الحين، وفقا لمبدأ التكافؤ الضعيف mt=mg معادلة الحركة

x¨=U

لم يعد يحتوي على إشارة إلى كتلة الجسيم. بعد فكرة أن حل المعادلة هو خاصية انحناء الفضاء، يتم إنشاء اتصال بحيث تكون المعادلة الجيوديسية

d2xλds2+Γμνλdxμdsdxνds=0

يمثل معادلة حركة جسيم نقطة في الجهد U. الاتصال الناتج هو

Γμνλ=γλρU,ρΨμΨν

مع Ψμ=δμ0 و γμν=δAμδBνδAB ( A,B=1,2,3 ). تم إنشاء الاتصال في نظام بالقصور الذاتي ولكن يمكن إثبات صلاحيته في أي نظام بالقصور الذاتي من خلال إظهار ثبات Ψμ و γμν تحت تحولات جالالي. ثم يتم إعطاء موتر انحناء ريمان في إحداثيات نظام القصور الذاتي لهذا الاتصال من قبل

Rκμνλ=2γλσU,σ[μΨν]Ψκ

حيث بين قوسين A[μν]=12![AμνAνμ] يعني أن المزيج غير المتماثل من الموتر Aμν. يتم إعطاء موتر ريتشي من قبل

Rκν=ΔUΨκΨν

مما يؤدي إلى اتباع الصيغة الهندسية لمعادلة بواسون

Rμν=4πGρΨμΨν

بشكل أكثر وضوحًا، إذا كانت المؤشرات الرومانية i و j تتراوح بين الإحداثيات المكانية 1 ، 2 ، 3 ، فإن الاتصال يتم من خلال

Γ00i=U,i

موتر انحناء ريمان

R0j0i=R00ji=U,ij

و موتر ريتشي وريتشي العددية بواسطة

R=R00=ΔU

حيث جميع المكونات غير المدرجة تساوي الصفر.

لاحظ أن هذه الصيغة لا تتطلب إدخال مفهوم المقياس: فالوصلة وحدها تعطي كل المعلومات المادية.

رفع بارجمان

وقد تبين أن نظرية الجاذبية رباعية الأبعاد لنيوتن-كارتان يمكن إعادة صياغتها على أنها تخفيض كلوزا-كلاين لجاذبية أينشتاين خماسية الأبعاد على طول اتجاه يشبه الصفر. [9] يعتبر هذا الرفع مفيدًا للنماذج الثلاثية الأبعاد غير النسبية. [10]

المراجع

  1. ^ Cartan، Élie (1923)، "Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (Première partie)" (PDF)، Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure، ج. 40، ص. 325، DOI:10.24033/asens.751، مؤرشف من الأصل (PDF) في 2019-08-21
  2. ^ Cartan، Élie (1924)، "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (Première partie) (Suite)" (PDF)، Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure، ج. 41، ص. 1، DOI:10.24033/asens.753، مؤرشف من الأصل (PDF) في 2020-02-22
  3. ^ Friedrichs، K. O. (1927)، "Eine Invariante Formulierung des Newtonschen Gravitationsgesetzes und der Grenzüberganges vom Einsteinschen zum Newtonschen Gesetz"، Mathematische Annalen، ج. 98، ص. 566–575، DOI:10.1007/bf01451608
  4. ^ Dautcourt، G. (1964)، "Die Newtonische Gravitationstheorie als strenger Grenzfall der allgemeinen Relativitätstheorie"، Acta Physica Polonica، ج. 65، ص. 637–646
  5. ^ Dixon، W. G. (1975)، "On the uniqueness of the Newtonian theory as a geometric theory of gravitation"، Communications in Mathematical Physics، ج. 45، ص. 167–182، Bibcode:1975CMaPh..45..167D، DOI:10.1007/bf01629247
  6. ^ Havas، P. (1964)، "Four-dimensional formulations of Newtonian mechanics and their relation to the special and general theory of relativity"، Reviews of Modern Physics، ج. 36، ص. 938–965، Bibcode:1964RvMP...36..938H، DOI:10.1103/revmodphys.36.938
  7. ^ Künzle، H. (1976)، "Covariant Newtonian limts of Lorentz space-times"، General Relativity and Gravitation، ج. 7، ص. 445–457، Bibcode:1976GReGr...7..445K، DOI:10.1007/bf00766139
  8. ^ Trautman، A. (1965)، Deser؛ Ford، K. W. (المحررون)، Foundations and current problems of general relativity، Englewood Cliffs, New Jersey، ج. 98، ص. 1–248{{استشهاد}}: صيانة الاستشهاد: مكان بدون ناشر (link)
  9. ^ Duval، C.؛ Burdet، G.؛ Künzle، H. P.؛ Perrin، M. (1985). "Bargmann structures and Newton-Cartan theory". Physical Review D. ج. 31 ع. 8: 1841–1853. Bibcode:1985PhRvD..31.1841D. DOI:10.1103/PhysRevD.31.1841. PMID:9955910.
  10. ^ Goldberger، Walter D. (2009). "AdS/CFT duality for non-relativistic field theory". Journal of High Energy Physics. ج. 2009 ع. 3: 069. arXiv:0806.2867. Bibcode:2009JHEP...03..069G. DOI:10.1088/1126-6708/2009/03/069.

فهرس