معادلة رباعية

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
بيان لمتعددة حدود من الدرجة الرابعة، ذات ثلاث نقط حرجة.

في الرياضيات، يطلق مصطلح معادلة من الدرجة الرابعة (بالإنجليزية: quartic equation) على معادلة كثير الحدود من الدرجة الرابعة.[1] ولها الشكل العام التالي:

ax4+bx3+cx2+dx+e=0

حيث a0.

معادلة الدرجة الرابعة هي أعلى درجة للمعادلات كثيرة الحدود التي من الممكن حلها بواسطة الجذور، في حالتها العامة.

التاريخ

اعتُبرت المعادلات الرباعية لأول مرة في الرياضيات الهندية القديمة بين عامي 400 و 200 قبل الميلاد. تنسب أول حلحلة للمعادلات من الدرجة الرابعة إلى عالم الرياضيات الإيطالي لودوفيكو فيراري وكان ذلك في عام 1540. ولكن هذه الحلحلة كانت تتطلب حلحلة معادلات من الدرجة الثالثة. في ذلك العام، لم تكن المعادلات من الدرجة الثالثة قد حلحلت بعد. لهذا السبب لم ينشر فيراري طريقته هذه، منتظرا عام 1545، حين نشر معلمه جيرولامو كاردانو كتابه أرس ماغنا.

التطبيقات

تظهر معادلات الدرجة الرابعة في عدة تطبيقات وخاصة المتعلقة بالاستمثال. أحيانا تستخدم معادلات الدرجة الرابعة في الرسومات الحاسوبية لحساب الإضاءة والانعكاس على عدة أشكال مثل السطح الثنائي وغيره من السطوح الكروية.

الصيغة

لتكن المعادلة العامة من الدرجة الرابعة:

ax4+bx3+cx2+dx+e=0

بعد القسمة على a و تغيير المجهول y=x+b4a تصبح : y4+py2+qy+r=0 حيث:

p=3b28a2+ca,q=b364a3bc2a2+da,r=db4a25b4256a4+cb216a3+ea

و حلها

y1=12(z1+z2+z3)
y2=12(z1z2z3)
y3=12(z1+z2z3)
y4=12(z1z2+z3)

حيث z1, z2 و z3 هي الجذور الثلاثة لمتعددة الحدود R

R(z)=z3+2pz2+(p24r)zq2

ويتم تحديد هذه الجذور الثلاثة باستخدام طريقة كاردانو

zi هو أحد الأعداد التي مربعها هو zi . يُلاحَظ أنه إذا استُبدلت كل zi في نفس الوقت بمقابلاتها، فإن {y1,y2,y3,y4} تصبح {y1,y2,y3,y4}.

لذلك يجب اختيار الجذور المربعة الصحيحة والتي تحقق z1z2z3 = q–.

طريقة فيراري

نعتبر الصيغة العامة للمعادلة من الدرجة الرابعة: a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=0

نقسم على a4 ونضع

x=za34a4

لنصل إلى معادلة على صيغة :

z4+pz2+qz+r=0

معادلة تكتب:

z4+r=pz2qz

نضيف

2z2r

لطرفي المتساوية. فنحصل على:

z4+2z2r+r=2z2rpz2qz

نلاحظ أن الطرف الأول يكتب على صيغة مربع:

(z2+r)2=2z2rpz2qz

من هاته النتيجة الأخيرة، نقوم بالنشر :

(z2+r+y)2=(z2+r)2+2y(z2+r)+y2

(z2+r+y)2=2z2rpz2qz+2y(z2+r)+y2

(z2+r+y)2=(2rp+2y)z2qz+2yr+y2 (*)

الهدف هو تحديد y بحيث يكتب الطرف الثاني أيضا على صيغة مربع.

الطرف الثاني معادلة من الدرجة الثانية z. يكتب على شكل مربع. إذا كان المميز منعدما يعني:

q24(2rp+2y)(2yr+y2)=0

الشيء الذي يعطي، عن طريق النشر والتجميع معادلة من الدرجة الثالثة y الآتية :

8y3+4(6rp)y2+8(2rpr)yq2=0

نستطيع حل هذه المعادلة باستعمال الطريقة الخاصة بمعادلات الدرجة الثالثة لإيجاد y0.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ "معلومات عن دالة رباعية على موقع britannica.com". britannica.com. مؤرشف من الأصل في 2019-12-19.

وصلات خارجية