مبرهنة الفردية

نظرية الفردية لمعادلة بواسون هي نظرية تنص على أن المعادلة لها تدرج واحد فريد في مسائل القيم الحدية , وفي حالة الكهروستاتيكا إذا وجد حقل كهربائي يحقق الشروط الحدية , يكون هذا الحقل هو الحقل الكهربائي الكامل .

الإثبات

في الكهروستاتيكا التعبير العام لمعادلة بواسون بالوحدات الفيزيائية الجاوسية هو

$\mathrm{\nabla }\cdot (ϵ\mathrm{\nabla }\phi )=-4\pi {\rho }_f$

حيث

$\phi$ هو الجهد الكهربائي .

$\mathbf{E}=-\mathrm{\nabla }\phi$ هو المجال الكهربي .

ويتم إثبات النظرية الفردية لمعادلة بواسون بطرق كثيرة منها ما يلي .

نفترض وجود حلان لمعادلة ما هما ${\phi }_1$ و ${\phi }_2$ , و $\varphi$ هو الفرق بين قيمة الحلين $\varphi ={\phi }_2-{\phi }_1$ .

وبما أن ${\phi }_1$ و ${\phi }_2$ تحققان معادلة بواسون . فيجب بالضرورة أن تحققها $\varphi$ .

$\mathrm{\nabla }\cdot (ϵ\mathrm{\nabla }\varphi )=0$

وباستخدام التعريف

$\mathrm{\nabla }\cdot (\varphi ϵ\mathrm{\nabla }\varphi )=ϵ(\mathrm{\nabla }\varphi {)}^2+\varphi \mathrm{\nabla }\cdot (ϵ\mathrm{\nabla }\varphi )$

وعند الأخذ في الاعتبار أن قيمة الحد الثاني يساوي 0 . يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي :

$\mathrm{\nabla }\cdot (\varphi ϵ\mathrm{\nabla }\varphi )=ϵ(\mathrm{\nabla }\varphi {)}^2$

وبأخذ التكامل الحجمي تكون المعادلة بالشكل التالي :

${\int }_V\mathrm{\nabla }\cdot (\varphi ϵ\mathrm{\nabla }\varphi )d^3\mathbf{r}={\int }_Vϵ(\mathrm{\nabla }\varphi {)}^2{d}^3\mathbf{r}$

وبتطبيق نظرية جاوس يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي :

${\sum }_i{\int }_{S_i}(\varphi ϵ\mathrm{\nabla }\varphi )\cdot \mathbf{d}\mathbf{S}={\int }_Vϵ(\mathrm{\nabla }\varphi {)}^2{d}^3\mathbf{r}$

حيث

$S_i$ هي حدود الأسطح التي تحددها الشروط الحدية .

وبما أن

$ϵ>0$ و $(\mathrm{\nabla }\varphi {)}^2\ge 0$

إذا

$\mathrm{\nabla }\varphi$ يجب أن تكون مساوية للصفر في أي مكان، وتكون $\mathrm{\nabla }{\phi }_1=\mathrm{\nabla }{\phi }_2$ .

وهذا يعني أن المعادلة لها تدرج واحد فريد عندما تكون

${\sum }_i{\int }_{S_i}(\varphi ϵ\mathrm{\nabla }\varphi )\cdot \mathbf{d}\mathbf{S}=0$

بشرط أن يكون :

1. $\phi$ معرفة على كل حدود السطح، وتكون ${\phi }_1={\phi }_2$ , وبالتالي تصبح $\varphi =0$ .
2. $\mathrm{\nabla }\phi$ معرفة على كل حدود السطح، وتكون $\mathrm{\nabla }{\phi }_1=\mathrm{\nabla }{\phi }_2$ , وبالتالي تصبح $\mathrm{\nabla }\varphi =0$ .
3. أن تحقق $\mathrm{\nabla }\phi$ قانون جاوس

انظر أيضا

• معادلة بواسون
• قانون جاوس
• قانون كولوم
• توافقات كروية
• سيمنز (وحدة)
• مطاوعة كهربائية