قوة الوفيات

في العلم الاكتواري قوة الوفيات هي محاولة الوصول إلى معدل فوري للوفيات لسن معين مقاسه على أساس سنوي . وهي مماثلة لمعدل الإخفاق , وتسمي في نظرية الموثوقية بدالة الخطر(Hazard function) .

الدافع والتعريف

في العلم الاكتواري , نعتبر احتمال وفاة أحد الأشخاص من سن x إلي سن x + 1 هو q_x. وفي الحالات المستمرة يمكن أن نعتبر الاحتمال الشرطي للشخص الذي يبلغ x أن يموت في الفترة ما بين x و x + Δx هو :

$P_x(\mathrm{\Delta }x)=P(x<X<x+\mathrm{\Delta }x\mid X>x)=\frac{F_X(x+\mathrm{\Delta }x)-F_X(x)}{(1-F_X(x))}$

حيث (F_X(x هي دالة التوزيع التراكمي لمتغيرات عشوائية في الحالات المستمرة . ويكون قوة الوفيات هو هذا الاحتمال مقسوما على Δx . وإذا تركنا Δx تقترب إلى الصفر , تكون قوة الوفيات $\mu (x)$:

$\mu (x)=\frac{F{\text{'}}_X(x)}{1-F_X(x)}$

وبما أن (f_X(x)=F '_X(x فإنه يمكن التعبير عن قوة الوفيات بالعلاقة :

$\mu (x)=\frac{f_X(x)}{1-F_X(x)}=-\frac{S^{\prime }(x)}{S(x)}=-\frac{d}{dx}\ln [S(x)].$

ولفهم كيفية عمل قوة الوفيات نعتبر العمر x وأن (f_X(x تساوي صفر فتكون العلاقة كالتالي:

$\mu (x)S(x)=f_X(x)$

أو بالشكل التالي

$\mu (x)=\frac{f_X(x)}{S(x)}.$

وفي كثير من الحالات , من الأفضل تحديد احتمال البقاء على قيد الحياة عندما تكون قوة الوفيات معلومة . وذلك عن طريق أن نكامل من الفترة x إلي الفترة x + t كما يلي :

$\underset{x}{\overset{x+t}{\int }}-\frac{d}{dy}\ln [S(y)]dy$.

وباستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل . ويكون الاختصار كالتالي :

$\ln [S(x+t)]-\ln [S(x)],$

وبأخذ e للطرفين

$\frac{S(x+t)}{S(x)}=S_x(t).$

وبذلك يكون احتمال بقاء الفرد على قيد الحياة هو :

$S_x(t)=e^{-\underset{x}{\overset{x+t}{\int }}\mu (y)dy}.$

مثال

هذا المثال مأخوذ من. وهو نموذج بقاء يتبع قانون ميكهام .

$\mu (y)=A+B{c}^y\text{for }y⩾0.$

وباستخدام الصيغة الأخيرة نجد أن :

$\underset{x}{\overset{x+t}{\int }}A+B{c}^{y}dy=At+B(c^{x+t}-c^x)/\ln [c].$

و

$S_x(t)=e^{-(At+B(c^{x+t}-c^x)/\ln [c])}=e^{-At}{g}^{c^x(c^t-1)}$

حيث $g=e^{-B/\ln [c]}.$

انظر أيضًا

• معدل الوفيات .
• علم اكتواري .
• نظرية الموثوقية .
• تأثير دمبر .

وصلات خارجية

• http://www.fenews.com/fen46/topics_act_analysis/topics-act-analysis.htm