قانون القيم المتوقعة الكلية

الافتراض في نظرية الاحتمالات المعروف باسم قانون التوقع الكلي ، ^[1] قانون التوقعات المتكررة ^[2] ( LIE ) ، وقانون آدم ، ^[3] قاعدة البرج ، ^[4] ونظرية التنعيم ، ^[5] من بين أسماء أخرى ، تنص على أنه إذا $X$ هو متغير عشوائي قيمته المتوقعة $E (X)$ يتم تعريفه و $Y$ هو أي متغير عشوائي على نفس فضاء احتمالي ، إذن

E (X) = E (E (X ∣ Y)),

على سبيل المثال ، القيمة المتوقعة للقيمة المتوقعة المشروطة لـ $X$ معطى $Y$ هي نفس القيمة المتوقعة لـ $X$ .

حالة خاصة واحدة تنص على أنه إذا ${A_{i}}_{i}$ هو قسم منتهي أو معدود من فضاء العينة ، إذن

E (X) = \sum_{i} E (X ∣ A_{i}) P (A_{i}) .

ملاحظة: القيمة المتوقعة المشروطة E ( X | Z ) هي متغير عشوائي تعتمد قيمته على قيمة Z. لاحظ أن القيمة المتوقعة المشروطة لـ X بالنظر إلى الحدث Z = z هي دالة لـ z . إذا كتبنا E ( X | Z = z ) = g ( z ) فإن المتغير العشوائي E ( X | Z ) هو g ( Z ). تنطبق تعليقات مماثلة على التغاير الشرطي.

مثال

لنفترض أن هناك مصنعين فقط يزودان السوق بمصابيح كهربائية . مصنع $X$ تعمل المصابيح لمدة 5000 ساعة في المتوسط ، في حين أن المصنع $Y$ تعمل المصابيح لمدة 4000 ساعة في المتوسط. من المعروف أن المصنع $X$ تزود 60٪ من إجمالي المصابيح المتاحة. ما هي المدة المتوقعة التي ستعمل فيها لمبة تم شراؤها؟

بتطبيق قانون التوقع الكلي ، لدينا:

\begin{array}{r} E (L) & = E (L ∣ X) P (X) + E (L ∣ Y) P (Y) \\ [3 p t] & = 5000 (0.6) + 4000 (0.4) \\ [2 p t] & = 4600 \end{array}

بحيث أن:

$E (L)$ هي العمر المتوقع للمصباح ؛
$P (X) = \frac{6}{10}$ هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع $X$ ؛
$P (Y) = \frac{4}{10}$ هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع $Y$ ؛
$E (L ∣ X) = 5000$ هو العمر المتوقع للمصباح المصنوع بواسطة $X$ ؛
$E (L ∣ Y) = 4000$ هو العمر المتوقع للمصباح المصنوع بواسطة $Y$ .

وبالتالي فإن عمر كل مصباح كهربائي يتم شراؤه يبلغ 4600 ساعة.

الإثبات في الحالات المنتهية والمعدودة

دع المتغيرات العشوائية $X$ و $Y$ ، المعرفة على نفس فضاء الاحتمال ، تفترض مجموعة منتهية أو لا حصر لها من القيم المنتهية. افترض أن $E [X]$ يتم تعريفه ، أي $min (E [X_{+}], E [X_{-}]) < \infty$ . إذا ${A_{i}}$ هو قسم من فضاء الاحتمال $Ω$ ، ومن بعد

E (X) = \sum_{i} E (X ∣ A_{i}) P (A_{i}) .

برهان - إثبات.

\begin{array}{r} E (E (X ∣ Y)) & = E [\sum_{x} x \cdot P (X = x ∣ Y)] \\ [6 p t] & = \sum_{y} [\sum_{x} x \cdot P (X = x ∣ Y = y)] \cdot P (Y = y) \\ [6 p t] & = \sum_{y} \sum_{x} x \cdot P (X = x, Y = y) . \end{array}

إذا كانت السلسلة منتهية ، فيمكننا تبديل التجميعات ، وسيصبح التعبير السابق

\begin{array}{r} \sum_{x} \sum_{y} x \cdot P (X = x, Y = y) & = \sum_{x} x \sum_{y} P (X = x, Y = y) \\ [6 p t] & = \sum_{x} x \cdot P (X = x) \\ [6 p t] & = E (X) . \end{array}

من ناحية أخرى ، إذا كانت السلسلة لا نهائية ، فلا يمكن أن يكون تقاربها مشروطًا ، نظرًا لافتراض أن $min (E [X_{+}], E [X_{-}]) < \infty .$ السلسلة تتقارب تمامًا إذا كان كلاهما $E [X_{+}]$ و $E [X_{-}]$ منتهية ، وتتباعد إلى ما لا نهاية عند أي منهما $E [X_{+}]$ أو $E [X_{-}]$ لانهائية. في كلا السيناريوهين ، يمكن تبادل الملخصات أعلاه دون التأثير على المجموع.

يترك $(Ω, F, P)$ تكون فضاء احتمالية يكون فيها جبران فرعيان $G_{1} \subseteq G_{2} \subseteq F$ يتم تعريفها. لمتغير عشوائي $X$ في مثل هذه الفضاء ، ينص قانون التنعيم على أنه إذا $E [X]$ يتم تعريفه ، أي $min (E [X_{+}], E [X_{-}]) < \infty$ ، ومن بعد

E [E [X ∣ G_{2}] ∣ G_{1}] = E [X ∣ G_{1}] (a.s.) .

إثبات . نظرًا لأن التوقع المشروط هو أحد مشتقات Radon-Nikodym ، فإن التحقق من الخواص التالية يؤسس قانون التسوية:

$E [E [X ∣ G_{2}] ∣ G_{1}] is G_{1}$ - قابل للقياس
$\int_{G_{1}} E [E [X ∣ G_{2}] ∣ G_{1}] d P = \int_{G_{1}} X d P,$ للجميع $G_{1} \in G_{1} .$

أول هذه الخصائص تحمل من خلال تعريف التوقع الشرطي. لإثبات الثانية ،

\begin{array}{r} min (\int_{G_{1}} X_{+} d P, \int_{G_{1}} X_{-} d P) & \leq min (\int_{Ω} X_{+} d P, \int_{Ω} X_{-} d P) \\ [4 p t] & = min (E [X_{+}], E [X_{-}]) < \infty, \end{array}

لذلك لا يتجزأ $\int_{G_{1}} X d P$ تم تعريفه (لا يساوي $\infty - \infty$ ).

وهكذا فإن الخاصية الثانية قائمة منذ ذلك الحين $G_{1} \in G_{1} \subseteq G_{2}$ يدل

\int_{G_{1}} E [E [X ∣ G_{2}] ∣ G_{1}] d P = \int_{G_{1}} E [X ∣ G_{2}] d P = \int_{G_{1}} X d P .

اللازمة - النتيجة. في حالة خاصة عندما $G_{1} = {\emptyset, Ω}$ و $G_{2} = σ (Y)$ ، فإن قانون التجانس يخفض إلى

E [E [X ∣ Y]] = E [X] .

برهان بديل ل $E [E [X ∣ Y]] = E [X] .$

هذه نتيجة بسيطة لتعريف القياس النظري للتوقع المشروط . حسب التعريف، $E [X ∣ Y] : = E [X ∣ σ (Y)]$ هو $σ (Y)$ - متغير عشوائي قابل للقياس يرضي

\int_{A} E [X ∣ Y] d P = \int_{A} X d P,

لكل مجموعة قابلة للقياس $A \in σ (Y)$ . مع الأخذ $A = Ω$ يثبت المطالبة.

إثبات صيغة التقسيم

\begin{array}{r} \sum \limits_{i} E (X ∣ A_{i}) P (A_{i}) & = \sum \limits_{i} \int \limits_{Ω} X (ω) P (d ω ∣ A_{i}) \cdot P (A_{i}) \\ = \sum \limits_{i} \int \limits_{Ω} X (ω) P (d ω \cap A_{i}) \\ = \sum \limits_{i} \int \limits_{Ω} X (ω) I_{A_{i}} (ω) P (d ω) \\ = \sum \limits_{i} E (X I_{A_{i}}), \end{array}

حيث $I_{A_{i}}$ هي وظيفة المؤشر للمجموعة $A_{i}$ .

إذا كان التقسيم ${_{A_{i}}^{}}$ منتهي ، إذن ، بالخطية ، يصبح التعبير السابق

E (\sum_{i = 0}^{n} X I_{A_{i}}) = E (X),

وانتهينا.

إذا ، ومع ذلك ، فإن القسم ${_{A_{i}}^{}}$ لانهائية ، ثم نستخدم مبرهنة التقارب المحدود لإظهار ذلك

E (\sum_{i = 0}^{n} X I_{A_{i}}) \to E (X) .

في الواقع ، لكل $n \geq 0$ و

| \sum_{i = 0}^{n} X I_{A_{i}} | \leq | X | I_{⋃ \limits_{i = 0}^{n} A_{i}} \leq | X | .

منذ كل عنصر من عناصر المجموعة $Ω$ يقع في قسم معين $A_{i}$ ، فمن السهل التحقق من أن التسلسل ${\sum_{i = 0}^{n} X I_{A_{i}}}_{n = 0}^{\infty}$ يتقارب بشكل نقطي إلى $X$ . بالافتراض الأولي ، $E | X | < \infty$ . يؤدي تطبيق نظرية التقارب المهيمن إلى النتيجة المرجوة.

أنظر أيضا

قانون الاحتمالات الكلية

مراجع

^ Weiss، Neil A. (2005). A Course in Probability. Boston: Addison–Wesley. ص. 380–383. ISBN:0-321-18954-X.
^ "Law of Iterated Expectation | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (بen-us). Archived from the original on 2023-03-28. Retrieved 2018-03-28.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: لغة غير مدعومة (link)
^ "Adam's and Eve's Laws". مؤرشف من الأصل في 2022-11-11. اطلع عليه بتاريخ 2022-04-19.
^ Rhee، Chang-han (20 سبتمبر 2011). "Probability and Statistics" (PDF). مؤرشف من الأصل (PDF) في 2023-03-26.^{[وصلة مكسورة]}
^ Wolpert، Robert (18 نوفمبر 2010). "Conditional Expectation" (PDF). مؤرشف من الأصل (PDF) في 2023-03-26.

Billingsley، Patrick (1995). Probability and measure. New York: John Wiley & Sons. ISBN:0-471-00710-2. (Theorem 34.4)
Christopher Sims, "Notes on Random Variables, Expectations, Probability Densities, and Martingales", especially equations (16) through (18)

[1] Weiss، Neil A. (2005). A Course in Probability. Boston: Addison–Wesley. ص. 380–383. ISBN:0-321-18954-X.

[2] "Law of Iterated Expectation | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (بen-us). Archived from the original on 2023-03-28. Retrieved 2018-03-28.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: لغة غير مدعومة (link)

[3] "Adam's and Eve's Laws". مؤرشف من الأصل في 2022-11-11. اطلع عليه بتاريخ 2022-04-19.

[4] Rhee، Chang-han (20 سبتمبر 2011). "Probability and Statistics" (PDF). مؤرشف من الأصل (PDF) في 2023-03-26.^{[وصلة مكسورة]}

[5] Wolpert، Robert (18 نوفمبر 2010). "Conditional Expectation" (PDF). مؤرشف من الأصل (PDF) في 2023-03-26.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

وصلة مكسورة

قانون القيم المتوقعة الكلية

محتويات

مثال

الإثبات في الحالات المنتهية والمعدودة

إثبات صيغة التقسيم

أنظر أيضا

مراجع

قائمة التصفح

قانون القيم المتوقعة الكلية

مثال

الإثبات في الحالات المنتهية والمعدودة

إثبات صيغة التقسيم

أنظر أيضا

مراجع

قائمة التصفح

بحث