ضرب هادامار

ضرب هادامار (بالإنجليزية: Hadamard product)‏ في الرياضيات هي عملية ثنائية تأخذ مصفوفتين من نفس البعد و تعطي مصفوفة ثالثة كل عنصر $ij$ هي جداء العناصر في $ij$ لهاتين المصفوفتين. تمت تسمية هذا الضرب على شرف عالم الرياضيات الفرنسي جاك هآدمار، أو عالم الرياضيات الألماني ایسای شور.

ضرب هادامار

تعريف

لمصفوفتين $A$ و $B$ التي لهما أبعاد $m\times n$، ضرب هادامار $A\circ B$ أو $A\odot B$ مصفوفة بنفس الأبعاد (أي $m\times n$ ) يتم حساب قيمها على النحو التالي:

$(A\circ B{)}_{ij}=(A\odot B{)}_{ij}=(A{)}_{ij}(B{)}_{ij}.$

لم يتم تعريف هذا الضرب للمصفوفات ذات الأبعاد المختلفة.

مثال

لمصفوفتين $A$ و $B$ ($3\times 3$) ضرب هادامار يساوي:

$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\circ \left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{12}{b}_{12}& a_{13}{b}_{13}\\ a_{21}{b}_{21}& a_{22}{b}_{22}& a_{23}{b}_{23}\\ a_{31}{b}_{31}& a_{32}{b}_{32}& a_{33}{b}_{33}\end{array}\right].$

خواص

• إذا $A$ و $B$ المصفوفات التي لها نفس الأبعاد لا تزيد مرتبة ضرب هادمار عن رتب الضرب لمصفوفتين:

$\mathrm{rank}(\mathbf{𝐀}\circ \mathbf{𝐁})\le \mathrm{rank}(\mathbf{𝐀})\mathrm{rank}(\mathbf{𝐁})$

• إذا $A$ و $B$ و $C$ المصفوفات بنفس الأبعاد وکانت $k$ رقمًا حقيقيًا ثم:

$\begin{array}{rl}& \mathbf{𝐀}\circ \mathbf{𝐁}=\mathbf{𝐁}\circ \mathbf{𝐀},\\ & \mathbf{𝐀}\circ (\mathbf{𝐁}\circ \mathbf{𝐂})=(\mathbf{𝐀}\circ \mathbf{𝐁})\circ \mathbf{𝐂},\\ & \mathbf{𝐀}\circ (\mathbf{𝐁}+\mathbf{𝐂})=\mathbf{𝐀}\circ \mathbf{𝐁}+\mathbf{𝐀}\circ \mathbf{𝐂},\\ & \left(k\mathbf{𝐀}\right)\circ \mathbf{𝐁}=\mathbf{𝐀}\circ \left(k\mathbf{𝐁}\right)=k(\mathbf{𝐀}\circ \mathbf{𝐁}),\\ & \mathbf{𝐀}\circ \mathbf{𝟎}=\mathbf{𝟎}\circ \mathbf{𝐀}=\mathbf{𝟎}.\end{array}$

• للنواقل $x$ و $y$ ومصفوفاتهم القطرية $D_x$ و $D_y$ يتم إنشاء العلاقات التالية:

${\mathbf{𝐱}}^{*}(\mathbf{𝐀}\circ \mathbf{𝐁})\mathbf{𝐲}=\mathrm{t}\mathrm{r}\left({\mathbf{𝐃}}_{\mathbf{𝐱}}^{*}\mathbf{𝐀}{\mathbf{𝐃}}_{\mathbf{𝐲}}{\mathbf{𝐁}}^{\mathsf{T}}\right),$

$\begin{array}{rl}\sum _i(A\circ B{)}_{ij}& ={\left(B^{\mathsf{T}}A\right)}_{jj}\\ & ={\left(A{B}^{\mathsf{T}}\right)}_{ii}.\end{array}$

$\left(\mathbf{𝐲}{\mathbf{𝐱}}^{*}\right)\circ \mathbf{𝐀}={\mathbf{𝐃}}_{\mathbf{𝐲}}\mathbf{𝐀}{\mathbf{𝐃}}_{\mathbf{𝐱}}^{*}$

• لقيم ذاتية من المصفوفات $A$ و $B$ العلاقة التالية تحمل:

$\prod _{i=k}^n{\lambda }_i(\mathbf{𝐀}\circ \mathbf{𝐁})\ge \prod _{i=k}^n{\lambda }_i(\mathbf{𝐀}\mathbf{𝐁}),k=1,\dots ,n,$

وصلات داخلية

• مصفوفة (رياضيات)
• جاك هآدمار
• ضرب المصفوفات
• قيم ذاتية ومتجهات ذاتية
• مصفوفة قطرية