صيغ فييت (جذور)

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في الرياضيات، وتحديداً في الجبر يطلق اسم صيغ فييت (بالإنجليزية: Vieta's formulas)‏ على الصيغ التي تربط جذور كثير حدود ما بمعاملاته.[1]

سميت هاته الصيغ هكذا نسبة إلى فرانسوا فييت.

الصيغة الرياضية

لتكن متعددة الحدود التالية

P(X)=anXn+an1Xn1++a1X+a0

من الدرجة n1 بمعاملات عقدية (حيث المعاملات a0,a1,,an1,an هن أعداد عقدية وan لا يساوي الصفر). حسب المبرهنة الأساسية في الجبر فإن لكثير الحدود هذا n جذرا (ليس بالضرورة أن تكون متمايزة)x1,x2,,xn.. تنص صيغ فييت على ما يلي:

{x1+x2++xn1+xn=an1an(x1x2+x1x3++x1xn)+(x2x3+x2x4++x2xn)++xn1xn=an2anx1x2xn=(1)na0an.

قد تكتب صيغ فييت، وبشكل مكافئ لما سبق، كما يلي:

1i1<i2<<ikn(j=1krij)=(1)kankan,

مثال

من أجل المعادلة P(X)=aX2+bX+c والتي هي معادلة من الدرجة الثانية فتعطي صيغ فييتة على أن جذور هذه المعادلة تحقق ما يلي:

x1+x2=ba,x1x2=ca.

الجذور r1,r2,r3 لمعادلة تكعيبية P(x)=ax3+bx2+cx+d تحقق المعادلات الثلاث التالية :

r1+r2+r3=ba,r1r2+r1r3+r2r3=ca,r1r2r3=da.

البرهان

يمكن البرهان على صيغ فييت بنشر المعادلة التالية:

anxn+an1xn1++a1x+a0=an(xr1)(xr2)(xrn)

التاريخ

يعود اكتشاف هذه الصيغ، كما يدل على ذلك اسمها، إلى عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت الذي عاش في القرن السادس عشر متوفيا في فجر القرن السابع عشر (عام 1604). لم يعمم فييت صيغه على الحالات حيث تكون الجذور سالبة. ويعتقد أن عالم رياضيات آخر، فرنسي أيضا، هو أول من فهم وعمم هذه الصيغ على جميع الحالات. يسمى هذا العالم ألبير جيرار.

مراجع

  1. ^ "معلومات عن صيغ فييت (جذور) على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2020-03-18.

انظر أيضا