دوال زوجية وفردية

دالة الجيب و جميع الدوال الحدودية المقتربة منها دوال فردية. هذه الصورة تبين $\sin (x)$ ومتعددات الحدود المقتربة منها من الدرجات الأولى والثالثة والخامسة والسابعة والتاسعة والحادية عشر والثالثة عشر.

في الرياضيات، الدوال الزوجية (بالإنجليزية: Even functions)‏ والدوال الفردية (بالإنجليزية: Odd functions)‏ هي دوال تحقق شرطا معينا يتعلق بالتماثل.

هذه الدوال مهمة في العديد من مجالات التحليل الرياضي، وخصوصا في متسلسلات القوى ومتسلسلات فورييه.

تعريف

الدالة الزوجية

ƒ(x) = x² مثال على الدوال الزوجية.

تكون دالة ما زوجية إذا تحقق $f(-x)=f(x)$ لكل قيم $x$. أي أن قيمة $y=f(x)$ لا تتغير عند وضع $-x$بدلاً من $x$.

إذا لم تكن الدالة زوجية، فهي إما أنها دالة فردية أو أنها لا زوجية ولا فردية.

الدالة الفردية

ƒ(x) = x³ مثال على الدوال الفردية.

'الدالة الفردية أو الاقتران الفردي، وتكون الدالة f فردية إذا كان $f(-x)=-f(x)$ لكل قيم $x$.

فمثلا $f(x)=\sin (x)$هي دالة فردية.

لأن $\sin (-x)=-\sin (x)$ مهما كانت $x$.

أمثلة

دالة كثيرة الحدود ذات أسس زوجية فقط

$p(x)=a_n{x}^n+a_{n-2}{x}^{n-2}+...+a_2{x}^2+a_0$

حيث $n$ عدد زوجي، $P(x)=P(-x)$ و الإشارة السالبة ستختفي من كل حد بسبب القوى الزوجية.

مثال :

الدالة التربيعية $y=f(x)=x^2+5$

هي دالة زوجية لأن قيمة y لا تتغير سواء كانت قيمة مدخل الدالة هو x أو هو -x. على سبيل المثال،

$(-3{)}^2=3^2=9$

دالة مثلثية زوجية

دالة جيب التمام

$y=\cos x$

دالة القيمة المطلقة

$\left|x\right|=|-x|$

الدالة الصفرية

الدالة الصفرية هي دالة زوجية وفردية في آن معا $f(x)=f(-x)=-f(x)$. هي الدالة الوحيدة التي تحقق هذه الخاصية.

خصائص أساسية

الوحدة

• إذا كانت دالة ما زوجية وفردية في آن واحد، فإنها تساوي الصفر حيثما عُرّفت.
• إذا كانت دالة ما فردية، فإن القيمة المطلقة لهذه الدالة تعرف دالة زوجية.

الجمع والطرح

• جمع أو طرح دالتين زوجيتين يعطي دالة زوجية.
• جمع أو طرح دالتين فرديتين يعطي دالة فردية.
• جمع دالتين إحداهما زوجية والأخرى فردية يعطي دالة لا هي فردية ولا هي زوجية، إلا إذا كانت إحدى الدالتين مساوية للصفر.

الضرب والقسمة

• جداء دالتين زوجيتين هو دالة زوجية.
• جداء دالتين فرديتين هو دالة زوجية.
• جداء دالتين إحداهما زوجية والأخرى فردية يعطي دالة فردية.
• قسمة دالة زوجية على دالة زوجية أخرى هو دالة زوجية.
• قسمة دالة فردية على دالة فردية أخرى هو دالة زوجية.
• قسمة دالة فردية على دالة زوجية أو عكس ذلك يعطي دالة فردية.

التركيب

• تركيب دالتين زوجيتين يعطي دالة زوجية.
• تركيب دالتين فرديتين يعطي دالة فردية.
• تركيب دالتين إحداهما زوجية والأخرى فردية يعطي دالة زوجية.
• تركيب دالتين لا شرط على الأولى والثانية زوجية هو دالة زوجية (العكس غير صحيح).

المعنى الهندسي

متناظرة حول محور التراتيب، حيث يظهر ذلك في تمثيل الدوال الزوجية. و الدالة الفردية متناظرة بالنسبة للمبدا

انظر أيضا

• دالة صفرية
• دالة هرميتية
• متسلسلة تايلور وماكلورين
• متسلسلة فورييه
• تكافؤ (فيزياء)
• زوجية العدد صفر