هذه المقالة يتيمة. ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالة متعلقة بها
يفتقر محتوى هذه المقالة إلى مصادر موثوقة.
تحتاج هذه المقالة إلى مصادر أكثر.
يرجى مراجعة هذه المقالة وإزالة وسم المقالات غير المراجعة، ووسمها بوسوم الصيانة المناسبة.

ثابت أوميغا

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

ثابت أوميجا هو ثابت رياضي يُشار إليه بالحرف اليوناني أوميجا ، والذي ينص على:

ΩeΩ=1

قيمة الثابت بالتقريب هي: ...0.5671432904097838729999686622. انه يحقق المعادلات

eΩ=Ω وأيضًا lnΩ=Ω .

وفقًا للرسمتين البيانيتين للدالتين ex و 1x . عند نقطة تقاطعهما، إحداثي x هو ثابت أوميغا.

هذا الثابت هو الحل الوحيد لـ (1)W حيث أن W هي دالة W لامبرت . اسمها مشتق من الاسم الآخر لهذه الدالة وهو دالة أوميغا.

يمكن بناء ثابت أوميغا بشكل متكرر من خلال سلسلة من التقريبات التي تبدأ عند Ω0 معيّن وتستوفي الشرط:

Ωn+1=eΩn

تتقارب السلسلة إلى ثابت أوميغا عندما يقترب n إلى ما لا نهاية . يتم الحفاظ على الحد لأن ثابت أوميغا هو "نقطة ثابتة" للدالة ex .

البناء الأكثر فعالية هو

Ωn+1=1+Ωn1+eΩn

لأن الدالة

f(x)=1+x1+ex

هناك نفس "النقطة الثابتة"، ولكن في هذه النقطة تكون المشتقة تساوي 0، وبالتالي فإن السلسلة تميل إلى الحد بشكل أسرع بكثير (يتضاعف عدد الأرقام الصحيحة تقريبًا في كل تكرار).

ثابت أوميغا يحافظ على الُمتَطابِقَة:

Ω=1dx(exx)2+π21

صفات

ثابت أوميغا غير نسبي (الأرقام بعد الفاصلة العشرية لا تنتهي).

البرهان: نفترض سلبيًا أنه عدد نسبي، فلذلك يوجد عددان صحيحان p وq حيث:

pq=Ω

ويتحقق أن:

1=pe(pq)q
e=(qp)(qp)=qqpqp

لكن e هو عدد متسامٍ ، في حين أن التعبير الذي وصلنا إليه هو جذر متعدد الحدود (بولينوم) بمعاملات نسبية (من الدرجة q)، أي جبري . تناقض!

ولذلك ثابت أوميغا متسامٍ أيضًا. لأنه إذا كان جبريًا فوفقًا لنظرية ليندمان-فايرشتراس exp(Ω) سيكون متعاليًا، وهكذا أيضًا exp1(Ω)=Ω وهو ما يتناقض مع افتراض أن ثابت أوميغا جبري.

روابط خارجية