تقسيم مصفوفة

في القواعد الرياضية للجبر الخطي، تقسيم المصفوفة هو تعبير يستخدم لتمثيل مصفوفة ما في صورة جمع أو طرح عدة مصفوفات. وتعتمد العديد من الطرق التكرارية (مثل نظام المعادلات التفاضلية) على حل معادلات المصفوفة مباشرة.

التقسيم الاعتيادي

نحن نسعي لحل المعادلة:

$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{k},$

(1)

حيث A هي مصفوفة n × n، وk هو متجه عمودي معطى يحتوي على n عنصر، فنقسم المصفوفة A إلى:

$\mathbf{A}=\mathbf{B}-\mathbf{C},$

(2)

حيث B وC هما مصفوفتان n × n. نقول أن A = B − C هي مصفوفة مقسمة، إذا كانت B⁻¹ ≥ 0 وC ≥ 0. ونفرض أن:

$\mathbf{B}\mathbf{x}=\mathbf{g},$

(3)

حيث g هو متجه عمودي معطى يمكن حله مباشرة للمتجه x. وبذلك يكون:

$\mathbf{B}{\mathbf{x}}^{(m+1)}=\mathbf{C}{\mathbf{x}}^{(m)}+\mathbf{k},m=0,1,2,\dots ,$

(4)

${\mathbf{x}}^{(m+1)}={\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{C}{\mathbf{x}}^{(m)}+{\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{k},m=0,1,2,\dots$

(5)

والمصفوفة D = B⁻¹C لا تحتوي على عناصر سالبة طالما (معادلة 2) تمثل تقسيم اعتيادي لـA.

الطرق التكرارية

يمكن وصف العديد من الطرق التكرارية على أنها تقسيم للمصفوفة. إذا كانت عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة A لا تساوي صفر، يتم التعبير عن A على أنها:

$\mathbf{A}=\mathbf{D}-\mathbf{U}-\mathbf{L},$

(6)

حيث D هي الجزء القطري لـA، وU وL يمثلان على الترتيب مصفوفتان مثلثيتان علوية وسفلية بأبعاد n × n، ويصبح لدينا التالي.

يمكن التعبير عن طريقة جاكوبي في صورة مصفوفة كتقسيم

${\mathbf{x}}^{(m+1)}={\mathbf{D}}^{-1}(\mathbf{U}+\mathbf{L}){\mathbf{x}}^{(m)}+{\mathbf{D}}^{-1}\mathbf{k}.$

(7)

كذلك طريقة جاوس-سيدل

${\mathbf{x}}^{(m+1)}=(\mathbf{D}-\mathbf{L}{)}^{-1}\mathbf{U}{\mathbf{x}}^{(m)}+(\mathbf{D}-\mathbf{L}{)}^{-1}\mathbf{k}.$

(8)

كذلك طريقة (successive over-relaxation)

${\mathbf{x}}^{(m+1)}=(\mathbf{D}-\omega \mathbf{L}{)}^{-1}[(1-\omega )\mathbf{D}+\omega \mathbf{U}]{\mathbf{x}}^{(m)}+\omega (\mathbf{D}-\omega \mathbf{L}{)}^{-1}\mathbf{k}.$

(9)

أمثلة

التقسيم العادي

$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}6& -2& -3\\ -1& 4& -2\\ -3& -1& 5\end{array}\right),\mathbf{k}=\left(\begin{array}{c}5\\ -12\\ 10\end{array}\right)$

(10)

$\begin{array}{rr}& \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}6& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right),\mathbf{C}=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 1& 0& 2\\ 3& 1& 0\end{array}\right),\end{array}$

(11)

$\begin{array}{rr}& {\mathbf{A}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}=\frac{1}{47}\left(\begin{array}{ccc}18& 13& 16\\ 11& 21& 15\\ 13& 12& 22\end{array}\right),{\mathbf{B}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}=\left(\begin{array}{ccc}& 0& 0\\ [4pt]0& & 0\\ [4pt]0& 0& \end{array}\right),\end{array}$

$\begin{array}{r}\mathbf{D}={\mathbf{B}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{C}=\left(\begin{array}{ccc}0& & \\ [4pt]\frac{1}{4}& 0& \\ [4pt]\frac{3}{5}& & 0\end{array}\right),{\mathbf{B}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{k}=\left(\begin{array}{c}\\ [4pt]-3\\ [4pt]2\end{array}\right).\end{array}$

وحيث أن B⁻¹ ≥ 0 وC ≥ 0، فإن التقسيم (معادلة 11) هو تقسيم اعتيادي.

${\mathbf{x}}^{(m+1)}=\left(\begin{array}{ccc}0& & \\ [4pt]\frac{1}{4}& 0& \\ [4pt]\frac{3}{5}& & 0\end{array}\right){\mathbf{x}}^{(m)}+\left(\begin{array}{c}\\ [4pt]-3\\ [4pt]2\end{array}\right),m=0,1,2,\dots$

(12)

ويصبح بذلك الحل الأمثل للمعادلة:

$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right).$

(13)

يظهر الجدول التالي أول تكرارات للمعادلة (12)، بدءً بـx⁽⁰⁾ = (0.0, 0.0, 0.0)^T. ومن الجدول نستطيع ملاحظة أن الطريقة تتجه نحو الحل (معادلة 13).

$x_1^{(m)}$	$x_2^{(m)}$	$x_3^{(m)}$
0.0	0.0	0.0
0.83333	-3.0000	2.0000
0.83333	-1.7917	1.9000
1.1861	-1.8417	2.1417
1.2903	-1.6326	2.3433
1.4608	-1.5058	2.4477
1.5553	-1.4110	2.5753
1.6507	-1.3235	2.6510
1.7177	-1.2618	2.7257
1.7756	-1.2077	2.7783
1.8199	-1.1670	2.8238

طريقة جاوس-سيدل

نظرًا لأن القطر الرئيسي للمصفوفة A لا يحتوي على عناصر صفرية، فيمكن كتابة المصفوفة بالصيغة التالية:

$\mathbf{D}=\left(\begin{array}{ccc}6& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right),\mathbf{U}=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right),\mathbf{L}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 3& 1& 0\end{array}\right).$

(14)

$\begin{array}{rr}& \mathbf{(}\mathbf{D}\mathbf{-}\mathbf{L}{\mathbf{)}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}=\frac{1}{120}\left(\begin{array}{ccc}20& 0& 0\\ 5& 30& 0\\ 13& 6& 24\end{array}\right),\end{array}$

$\begin{array}{rr}& \mathbf{(}\mathbf{D}\mathbf{-}\mathbf{L}{\mathbf{)}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{U}=\frac{1}{120}\left(\begin{array}{ccc}0& 40& 60\\ 0& 10& 75\\ 0& 26& 51\end{array}\right),\mathbf{(}\mathbf{D}\mathbf{-}\mathbf{L}{\mathbf{)}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{k}=\frac{1}{120}\left(\begin{array}{c}100\\ -335\\ 233\end{array}\right).\end{array}$

${\mathbf{x}}^{(m+1)}=\frac{1}{120}\left(\begin{array}{ccc}0& 40& 60\\ 0& 10& 75\\ 0& 26& 51\end{array}\right){\mathbf{x}}^{(m)}+\frac{1}{120}\left(\begin{array}{c}100\\ -335\\ 233\end{array}\right),m=0,1,2,\dots$

(15)

يظهر الجدول التالي أول تكرارات للمعادلة (15)، بدءً بـx⁽⁰⁾ = (0.0, 0.0, 0.0)^T. ومن الجدول نستطيع ملاحظة أن الطريقة تتجه نحول الحل (معادلة 13)، لكن أسرع من طريقة جاكوبي الموضحة أعلاه.

$x_1^{(m)}$	$x_2^{(m)}$	$x_3^{(m)}$
0.0	0.0	0.0
0.8333	-2.7917	1.9417
0.8736	-1.8107	2.1620
1.3108	-1.5913	2.4682
1.5370	-1.3817	2.6459
1.6957	-1.2531	2.7668
1.7990	-1.1668	2.8461
1.8675	-1.1101	2.8985
1.9126	-1.0726	2.9330
1.9423	-1.0479	2.9558
1.9619	-1.0316	2.9708

مراجع

• Burden، Richard L.؛ Faires، J. Douglas (1993)، Numerical Analysis (ط. 5th)، Boston: Prindle, Weber and Schmidt، ISBN:0-534-93219-3.
• Varga، Richard S. (1960). "Factorization and Normalized Iterative Methods". في Langer، Rudolph E. (المحرر). Boundary Problems in Differential Equations. Madison: University of Wisconsin Press. ص. 121–142. LCCN:60-60003.
• Varga، Richard S. (1962)، Matrix Iterative Analysis، New Jersey: Prentice-Hall، LCCN:62-21277.