مخروط

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
مخروط دائري قائم ومائل

في الرياضيات، المخروط[1] هو مجسم ثلاثي الأبعاد ينتج من توصيل جميع نقاط منحنى مغلق بنقطة لا تنتمي إليه، ويسمى المنحنى الخط الدليلي والنقطة بـرأس المخروط ويسمى كل مستقيم يوصله بين الخط الدليلي والرأس بـراسم المخروط, ويعرف أيضا بأنه هو المجسم الناتج من تدوير مثلث قائم الزاوية حول أحد ضلعي الزاوية القائمة دورة كاملة.[2][3][4] عندما يكون الخط الدليلي دائرة، يسمى المخروط مخروط دائري. وعندما تكون جميع الرواسم متساوية في الطول يسمى المخروط الدائري القائم. وإذا قطعنا المخروط الدائري القائم بمستوى لا يشمل رأسه، فإن المقطع الناتج يسمى القطع المخروطي.
وارتفاع المخروط هو المستقيم العمودي من قمة رأس المخروط إلى القاعدة، ويسمى أيضا طول المخروط.
إذا قيل مخروط بلا إضافات فإنه يكون المخروط الدائري.
يقع مركز ثقل المخروط ذو الكثافة المتجانسة على المحور، عند ربع المسافة من مركز ثقل القاعدة باتجاه القمة.

قوانين متعلقة بالمخروط

هذه القوانين حول المخروط الدائري
r : نصف قطر القاعدة.
h : ارتفاع المخروط.
A : مساحة القاعدة.
P : محيط القاعدة.
V : حجم المخروط.
g : هو طول الراسم في المخروط الدائري القائم.

مساحات

مساحة السطح الجانبي للمخروط الدائري القائم = gP2=πrg
مساحة قاعدة المخروط = πr2
عندما يُقطع مخروط دائري قائم بمستوى يوازي القاعدة فإنه ينتج مقطع بحيث: aA=k2h2
حيث a هو مساحة المقطع، و k هو بعد المقطع عن رأس المخروط.

الحجم

يتم إيجاد حجم المخروط الدائري القائم من خلال حساب ثلث مساحة القاعدة مضروبة في الارتفاع: Ah3

يوضح الشكل كيفية توليد مخروط من خلال تدوير مثلث قائم الزاوية
الرسم السابق يوضح منحنى الدالةd(x)=rhx
وقد تم اثباته باعتبار المخروط الدائري القائم مجسم دوراني ينتج عن تدوير الدالة d(x)=rhx
وكأي مجسم دوراني فإن:
الحجم = المساحة تحت المنحنى تربيع مضروبا في ط
V=π0h(rhx)2dx ايجاد المساحة عن طريق حساب التكامل
V=πr2h20hx2dx بتوزيع القوى على الضرب ثم إخراج الأعداد الثابتة.
V=πr2h2[x33]0h حل التكامل
V=π×r2×h3 بحل التكامل ثم اختصار الارتفاع في البسط والمقام
V=Ah3 وبما أن المساحة هي A=πr2 وضعنا قيمتها.
وهو نفس القانون السابق.
المخروط الناقص

التسميات

  • وفقًا لنوع المقطع القائم (straight cross-section) لمخروط ثنائي (quadric cone)، فإنه يصنف اهليجي، أو دائري أو مكافئي أو زائدي، عندما يكون مقطعه القائم قطع ناقص، أو دائرة أو قطع مكافئ، أو قطع زائد

المخروط المائل، عندما يكون محوره غير متعامد مع مستوى القاعدة. ولكن بالإشارة إلى المقطع القائم، فإنه لا يوجد مخاريط مائلة، بل جميعها قائمة.[5]

  • مخروط مبتور إذا تم قطع المخروط بمستو فإن الحيز بين مستوى القطع والقاعدة يسمى مخروط مبتور ويسمى أيضا جذع مخروطي.
أنواع القطوع المخروطية:
1. قطع مكافئ
2. دائرة وقطع ناقص
3. قطع زائد

بسط أو تطوير المخروط

القطوع المخروطية

عندما يقطع مستوى مخروط فإن ذلك يولد القطوع المخروطية وهي: القطع الزائد والقطع الناقص والقطع المكافئ.

يحدد السمك الثابت لمخروط إهليجي على مقطع دائري للمخروط نفسه[6]

مقاطع دائرية لمخروط اهليجي
يحدد السمك الثابت لمخروط اهليجي على مقطع دائري للمخروط نفسه

معرض صور

إنظر أيضا

المصادر

  1. ^ Q114972534، ص. 94، QID:Q114972534
  2. ^ "معلومات عن مخروط على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2019-09-04.
  3. ^ "معلومات عن مخروط على موقع jstor.org". jstor.org. مؤرشف من الأصل في 2019-05-25.
  4. ^ "معلومات عن مخروط على موقع babelnet.org". babelnet.org. مؤرشف من الأصل في 2019-12-13.
  5. ^ Geometric Loci نسخة محفوظة 16 مايو 2019 على موقع واي باك مشين.
  6. ^ Sezioni circolari di un cono ellittico. Dr. Hasan ISAWI نسخة محفوظة 21 سبتمبر 2019 على موقع واي باك مشين.
  7. ^ sezione retta di un cono quadrico generico نسخة محفوظة 25 يوليو 2021 على موقع واي باك مشين.
  • كتاب الرياضيات الصف الثالث ثانوي الفصل الدراسي الثاني، طبعة 1431-1432 هـ، المملكة العربية السعودية.