طاقة ديريشليت

في الرياضيات، تعد طاقة ديريشليت مقياسًا لمدى تغير دالة رياضية. وبشكل تجريدي أكثر، فإنها دالة رياضية تربيعية في فضاء سوبوليف H¹. وترتبط طاقة ديريشليت ارتباطًا وثيقًا بمعادلة لابلاس، وقد تمت تسميتها على اسم عالم الرياضيات الألماني دركليه .

التعريف

مع الأخذ في الاعتبار المجموعة المفتوحة Ω ⊆ Rⁿ والدالة الرياضية u : Ω → R، تكون طاقة ديريشليت في الدالة الرياضية u هي العدد الحقيقي

$E[u]=\frac{1}{2}{\int }_{\mathrm{\Omega }}|\mathrm{\nabla }u(x){|}^2\mathrm{d}V,$

حيث يشير ∇u : Ω → Rⁿ إلى حقل شعاعي متدرج للدالة الرياضية u.

الخصائص والتطبيقات

حيث أنها عدد صحيح بقيمة غير سالبة، فإن طاقة ديريشليت غير سالبة في حد ذاتها، أي E[u] 0 لكل دالة رياضية u.

حل معادلة لابلاس

$-\mathrm{\Delta }u(x)=0\text{ for all }x\in \mathrm{\Omega }$

(حسب الشروط الحدية الملائمة) تساوي حل مسألة التنوع للعثور على دالة رياضية u تفي بالشروط الحدية ويكون لها الحد الأدنى من طاقة ديريشليت.

ويطلق على مثل هذا الحل اسم الدالة الرياضية التناسفية وتعد هذه الحلول هي موضوع الدراسة في نظرية الاحتماليات.

انظر أيضًا

• مبدأ ديريشليت
• التباين الإجمالي
• التذبذب

مراجع

• Lawrence C. Evans (1998). المعادلات التفاضلية الجزئية. American Mathematical Society.