تحدب

في مجال التمويل ، يعد تحدب السندات (Bond convexity) مقياسًا للعلاقة غير الخطية لأسعار السندات بالتغيرات في أسعار الفائدة ، والمشتق الثاني لسعر السند فيما يتعلق بأسعار الفائدة (المدة هي المشتق الأول). بشكل عام ، كلما زادت المدة ، كلما كان سعر السند أكثر حساسية للتغير في أسعار الفائدة. يعد تحدب السندات أحد أكثر أشكال التحدب الأساسية والمستخدمة على نطاق واسع في التمويل.^[1]

التعبير الرياضي

إذا كان سعر الفائدة العائم الثابت هو r وسعر السند هو B ، فإن التحدب C يتم تعريفه على أنه:

$C = \frac{1}{B} \frac{d^{2} (B (r))}{d r^{2}} .$

هناك طريقة أخرى للتعبير عن C وهي من حيث المدة المعدلة D:

$\frac{d}{d r} B (r) = - D B$

و بالتالي,

$C B = \frac{d (- D B)}{d r} = (- D) (- D B) + (- \frac{d D}{d r}) (B)$

إذاً:

$C = D^{2} - \frac{d D}{d r}$

حيث D هي مدة معدلة.

كيف تتغير مدة السند مع تغير سعر الفائدة؟

بالعودة إلى التعريف القياسي للمدة المعدلة:

$D = \frac{1}{1 + r} \sum_{i = 1}^{n} \frac{P (i) t (i)}{B}$

حيث P (i) هي القيمة الحالية للقسيمة i و t (i) هو تاريخ الدفع المستقبلي.

مع زيادة سعر الفائدة ، تنخفض القيمة الحالية للمدفوعات الأطول أجلاً فيما يتعلق بالقسائم السابقة (بواسطة عامل الخصم بين المدفوعات المبكرة والمتأخرة). ومع ذلك ، ينخفض سعر السند أيضًا عند زيادة سعر الفائدة ، ولكن التغييرات في القيمة الحالية لمجموع كل القسائم مضروبة في التوقيت (البسط في التجميع) تكون أكبر من التغييرات في سعر السند (المقام في التجميع). لذلك ، يجب أن تقلل الزيادات في r المدة (أو في حالة سندات القسيمة الصفرية ، اترك المدة غير المعدلة ثابتة). لاحظ أن المدة المعدلة D تختلف عن المدة العادية بالعامل الأول فوق 1 + r (كما هو موضح أعلاه) ، والذي يتناقص أيضًا مع زيادة r.

$\frac{d D}{d r} \leq 0$

بالنظر إلى العلاقة بين التحدب والمدة أعلاه ، يجب أن تكون التحدبات السندات التقليدية إيجابية دائمًا.

يمكن أيضًا إثبات إيجابية التحدب بشكل تحليلي بالنسبة لسندات أسعار الفائدة الأساسية. على سبيل المثال ، في ظل افتراض منحنى عائد ثابت ، يمكن للمرء أن يكتب قيمة السند الحامل للقسيمة على النحو التالي $B (r) = \sum_{i = 1}^{n} c_{i} e^{- r t_{i}}$ ، حيث ci تعني القسيمة المدفوعة في الوقت t (i) .

ومن السهل أن نرى:

$\frac{d^{2} B}{d r^{2}} = \sum_{i = 1}^{n} c_{i} e^{- r t_{i}} t_{i}^{2} \geq 0$

لاحظ أن هذا على العكس يدل على سلبية مشتق المدة عن طريق التفريق $d B / d r = - D B$ .

مراجع

^ Diller, Stanley (1991), Parametric Analysis of Fixed Income Securities, in Dattatreya, Ravi (ed.) Fixed Income Analytics: State-of-the-Art Debt Analysis and Valuation Modeling, Probus Publishing

هذه بذرة مقالة عن علم الاقتصاد أو موضوع متعلق به بحاجة للتوسيع. فضلًا شارك في تحريرها.

[:0-1] Diller, Stanley (1991), Parametric Analysis of Fixed Income Securities, in Dattatreya, Ravi (ed.) Fixed Income Analytics: State-of-the-Art Debt Analysis and Valuation Modeling, Probus Publishing

[1]