التوزيع الهندسي[1] (بالإنكليزية: Geometric distribution) وهو جزء من التوزيع الاحتمالي المتعلق بتجارب بيرنولي، ويستخدم التوزيع الهندسي النموذج التالي: "كم عدد المحاولات التي نحتاجها للحصول على النتيجة المطلوبة؟"

إن التوزيع الهندسي يستخدم من أجل التوزيع التكراري للبيانات الكمية المنفصلة الثنائية من أجل معرفة احتمال ظهور المشاهدة W بعد k محاولة في التجربة المنفذة في فضاء عينة S ذو المشاهدات المعلومة Ai ذات قيم الاحتمال الثابتة والمعلومة Pi

P(W)=p*(1p)k1.[2]

تعريف

التوزيع الهندسي هو عدد التكرارات للتجربة للحصول على نجاح واحد فقط من تلك التجربة. فإذا كان المتغير X يشير إلى عدد مرات تكرار التجربة و P يشير إلى احتمال نجاح التجربة و q هو احتمال فشل التجربة وبالتالي فإن الدالة الاحتمالية لهذا التوزيع ستكون:

f(x)=p(1p)x1

حيث أن ...,1,2,3=x

حيث أن x1 , 0p1 , f(x)0 لجميع قيم x

x=1p(1p)x1=px=1(1p)x1=p11(1p)=1

وهذا يؤكد أن (f(x دالة احتمالية وقد سميت بالتوزيع الهندسي لان احتمالات قيم X المختلفة تناظر حدود متوالية هندسية.

يستخدم هذا التوزيع إذا كان هناك محاولات أو تجارب وتمثل X عدد هذه المحاولات حتى الحصول على أول نجاح. علما بأن احتمال النجاح P واحتمال الفشل في أي محاولة q=1-p فمثلا في فحص الإنتاج ربما تكون X عدد السلع المفحوصة حتى الحصول على أول تالفة . وكذلك في تجربة القاء قطعة النقود فربما تكون X عدد مرات القاء قطعة النقود حتى الحصول على صورة وكذلك عدد الولادات التي تضعها سيدة قبل أن ترزق بذكر .

مثال

ليكن لدينا نرد متجانس (1,2,3,4,5,6,) ما هو احتمال ظهور الرقم 6 بعد 7 محاولات لالقاء النرد؟

الحل:

الاحتمالات الصحيحة (ظهور رقم 6): P = 1/6

الاحتمالات الخاطئة (عدم ظهور رقم 6): q=1-P = 5/6

يكون ظهور الحدث المطلوب بعد 7 محاولات، أي في المحاولة الثامنة وبالتالي: n=8

P(W)=p(1p)n1=pqn1

بتعويض المعطيات

p(w)=(1/6)*(5/6)(81)

p(w)=0.04651

أي أنه من كل 100 محاولة لرمي النرد توجد 8 مرات فقط، سيظهر الرقم 1 في المرة الثامنة (وليس قبل الثامنة) في 4.651 مرة من أصل المحاولات المائة.

دالة التوزيع التراكمية

F(x)=s=1xf(s)=s=1xpqs1
=p(1q)x(1q)=1qx

حيث أن ...,x=1,2,3

المنوال

نلاحظ أن

f(x+1)f(x)=pqxpq(x1)=q<1

أي أن الحدود المتتالية متناقصة . وهذا يعني أن أعلى احتمال هو عند X=1 وعلى ذلك فإن المنوال هو X=1

متوسط التوزيع

μ=E(x)=x=1xpqx1
=p[1+2q+3q2+4q3+...]
=p(1q)2=1p

تباين التوزيع

نعلم أن

x=1xqx=q+2q2+3q3+
=q(1+2q+3q+...)
=q(1q)2

بتفاضل الطرفين بالنسبة إلى q نحصل على

x=1x2qx1=1+q(1q)3
x=1x2pqx1=p(1+q)p3
E(x2)=1+q(p)2

وبذلك يكون التباين

σ2=1+qp21p2=qp2

دالة توليد العزوم

M(t)=x=1extpqx1
=petx=1(qet)x1
=pet1qet

و حيث أن

M(x)=pet(1qet)2
M(t)=pet(1+qet)(1qet)3
μ=μ'1=M(0)=p(1q)2=1p
μ'2=M(0)=p(1+q)(1q)3=1+qp2
σ2=μ'2μ2=1+qp2(1p)2=qp2

مثال:

احتمال إصابة هدف هو(0.4) ما احتمال إصابة هذا الهدف في المحاولة الرابعة.

الحل:

p=0.4q=0.6

احتمال إصابة الهدف في المحاولة الرابعة معنى ذلك الفشل في الحاولات الثلاثة السابقة وعليه يكون الاحتمال :

p=(0.4)(0.6)3=0.0864

مثال:

إذا كان احتمال ولادة ذكر في أي ولادة تمر بها سيده هو 1/3 أوجد

1- التوزيع الاحتمالي لعدد مرات الوضع قبل أن ترزق هذه السيده بذكر .

2- أوجد متوسط عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر.

3- ما احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ولادتين .

4- ما احنمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ثلاث ولادات على الأكثر.

الحل :

احتمال ولادة ذكر p= 1/3

X عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر

1- X تتبع توزيعا هندسيا بمعلمه P=1/3 وبذلك تكون دالته الاحتمالية هي

...,1,2,3=x

,.f(x)=13(23)x1

2-متوسط عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر هو μ حيث

μ=1p=1(13)=3

3-احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ولادتين هو (p(x=2 حيث

p(x=2)=f(2)=(13)(23)=29

4-احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ثلاث ولادات على الأكثر هو

p(x3)=F(3)=1q3=1(23)3=1927=0.7

المراجع

  1. ^ Q111421033، ص. 72، QID:Q111421033
  2. ^ "معلومات عن توزيع هندسي على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2021-12-23.
  • الأستاذ الدكتور جلال مصطفى الصياد، نظرية الاحتمالات
  • المحاضرة ياسمينه أبو زيد الفقيه، مقدمة في نظرية الاحتمال

المصادر